📐 Théorème de Pythagore
L'énoncé
- Dans un triangle ABC rectangle en A
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit
- Les deux autres côtés s'appellent les cathètes
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
hypoténuse² = cathète² + cathète²
hypoténuse² = cathète² + cathète²
Réciproque : Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) alors ABC est rectangle en A
Méthode — Calculer une longueur
- Identifier l'angle droit et l'hypoténuse
- Écrire la relation de Pythagore
- Isoler le côté cherché
- Calculer la racine carrée
- Arrondir et conclure avec unité
Pièges fréquents
- Confondre l'hypoténuse (toujours en face de l'angle droit)
- Oublier la racine carrée à la fin
- Ne pas vérifier que le triangle est rectangle avant d'appliquer
- Réciproque : tester avec le plus grand côté comme hypoténuse
✏️ Exemple type Brevet
ABC est rectangle en B, AB = 6 cm, BC = 8 cm. Calculer AC.
D'après Pythagore : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Donc \(AC = \sqrt{100} = 10\) cm
Donc \(AC = \sqrt{100} = 10\) cm
📏 Théorème de Thalès
Configuration
- Droites (DE) et (BC) parallèles
- A sommet commun aux deux triangles
- D sur [AB] et E sur [AC]
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)
Réciproque : Si \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) alors (DE) ∥ (BC)
Méthode — Calculer avec Thalès
- Repérer les deux droites parallèles
- Identifier le sommet commun A
- Écrire le rapport avec les 3 fractions égales
- Choisir les 2 fractions utiles (produit en croix)
- Résoudre et conclure
Pièges fréquents
- Vérifier que les droites sont bien parallèles
- Distinguer la config. papillon de la config. classique
- Bien noter AD et non AB dans le numérateur
- La réciproque prouve le parallélisme, pas Thalès direct
✏️ Exemple type Brevet
Dans triangle ABC, (DE) ∥ (BC), AD = 3 cm, DB = 2 cm, AE = 4,5 cm. Calculer EC et DE sachant BC = 10 cm.
AB = AD + DB = 5 cm. Par Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\)
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AC}\) → \(AC = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5\) cm → EC = 7,5 − 4,5 = 3 cm
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) → \(DE = \dfrac{3 \times 10}{5} = 6\) cm
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AC}\) → \(AC = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5\) cm → EC = 7,5 − 4,5 = 3 cm
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) → \(DE = \dfrac{3 \times 10}{5} = 6\) cm
🔗 Pythagore + Thalès au Brevet
Quand utiliser quoi ?
- Pythagore : triangle rectangle, calculer un côté ou vérifier l'angle droit
- Thalès : deux droites parallèles, calculer une longueur par proportion
- Réciproque Pythagore : prouver qu'un triangle est rectangle
- Réciproque Thalès : prouver que deux droites sont parallèles
À connaître par cœur
- Triplets pythagoriciens : (3,4,5) — (5,12,13) — (6,8,10) — (8,15,17)
- La rédaction compte autant que le calcul au Brevet
- Toujours conclure la réponse en une phrase
- Unités obligatoires dans la réponse finale
4 séries progressives · 10 exercices chacune · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercices directs d'application des formules. Calculs simples, configuration évidente.
Exercice 1
★ Facile
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Calculer BC.
Calculer BC.
~3 lignes
Exercice 2
★ Facile
Le triangle DEF est rectangle en D, avec DE = 5 cm et EF = 13 cm.
Calculer DF.
Calculer DF.
~3 lignes
Exercice 3
★ Facile
Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
~4 lignes
Exercice 4
★ Facile
Dans le triangle ci-dessous, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
AD = 4 cm, DB = 2 cm, AE = 6 cm.
Calculer AC.
AD = 4 cm, DB = 2 cm, AE = 6 cm.
Calculer AC.
~3 lignes
Exercice 5
★ Facile
Dans un triangle ABC, (DE) ∥ (BC) avec D sur [AB] et E sur [AC].
AD = 3, AB = 9, DE = 4 cm. Calculer BC.
AD = 3, AB = 9, DE = 4 cm. Calculer BC.
~3 lignes
Exercice 6
★ Facile
Le triangle MNP est rectangle en N.
MN = 8 cm et MP = 10 cm. Calculer NP. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée.
MN = 8 cm et MP = 10 cm. Calculer NP. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée.
~4 lignes
Exercice 7
★ Facile
Un triangle a pour côtés 7 cm, 8 cm et 10 cm.
Montrer que ce triangle n'est pas rectangle.
Montrer que ce triangle n'est pas rectangle.
~4 lignes
Exercice 8
★ Facile
(DE) ∥ (BC), AD = 6, DB = 3, AE = 8. Calculer EC.
~3 lignes
Exercice 9
★★ Intermédiaire
Un escalier forme un triangle rectangle. La marche mesure 20 cm et la contremarche 15 cm.
Quelle est la longueur de la rampe (hypoténuse) ? Arrondir au mm.
Quelle est la longueur de la rampe (hypoténuse) ? Arrondir au mm.
~4 lignes
Exercice 10
★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC, D est le milieu de [AB] et E est sur [AC] tel que DE ∥ BC.
Sachant que BC = 14 cm, calculer DE.
Sachant que BC = 14 cm, calculer DE.
~3 lignes
📘 Série 2 — Application
Problèmes contextualisés nécessitant de choisir le bon théorème. Niveau type collège.
Exercice 1★★ Intermédiaire
Un champ rectangulaire mesure 40 m × 30 m. Un agriculteur veut poser une clôture en diagonale. Quelle longueur de clôture faut-il prévoir ? Arrondir au centimètre.
~4 lignes · Faire un schéma
Exercice 2★★ Intermédiaire
Un poteau vertical de 4 m de haut est maintenu par un câble fixé à son sommet et ancré au sol à 3 m du pied du poteau. Quelle est la longueur du câble ?
~4 lignes · Schéma utile
Exercice 3★★ Intermédiaire
Sur une carte, deux villes A et B sont à 12 cm de distance horizontale et 9 cm de distance verticale. À l'échelle 1/100 000, quelle est la distance réelle entre les deux villes (en km) ?
~5 lignes · 2 étapes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC, (MN) ∥ (BC) avec M sur [AB] et N sur [AC].
AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 3 cm et BC = 15 cm.
Calculer MN et AC.
AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 3 cm et BC = 15 cm.
Calculer MN et AC.
~5 lignes · 2 calculs
Exercice 5★★ Intermédiaire
Un arbre de 8 m de haut projette une ombre de 6 m. Un enfant de 1,20 m projette une ombre de x cm au même moment.
Calculer la longueur de l'ombre de l'enfant.
Calculer la longueur de l'ombre de l'enfant.
~4 lignes · Thalès
Exercice 6★★ Intermédiaire
Montrer que le triangle ABC est rectangle en B sachant que AB = 9 cm, BC = 12 cm et AC = 15 cm.
~4 lignes · Réciproque Pythagore
Exercice 7★★ Intermédiaire
Dans un triangle RST, U est sur [RS] et V est sur [RT]. On sait que RU = 5 cm, US = 3 cm, RV = 7,5 cm et VT = 4,5 cm.
Montrer que (UV) est parallèle à (ST).
Montrer que (UV) est parallèle à (ST).
~5 lignes · Réciproque Thalès
Exercice 8★★ Intermédiaire
Une fenêtre rectangulaire mesure 120 cm × 90 cm. Quelle est la longueur de sa diagonale (valeur exacte et valeur approchée au mm) ?
~3 lignes
Exercice 9★★★ Difficile
Dans un repère, A(1 ; 2), B(5 ; 2) et C(5 ; 5).
1. Calculer les longueurs AB, BC et AC.
2. Le triangle ABC est-il rectangle ? En quel point ?
1. Calculer les longueurs AB, BC et AC.
2. Le triangle ABC est-il rectangle ? En quel point ?
~6 lignes · 2 questions
Exercice 10★★★ Difficile
Un photographe veut savoir la hauteur d'un immeuble. Il se place à 20 m de l'immeuble et mesure que son œil (à 1,65 m du sol) voit le sommet de l'immeuble à 40 m du mur.
Calculer la hauteur de l'immeuble.
Calculer la hauteur de l'immeuble.
~6 lignes · Thalès + schéma
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercices combinant les deux théorèmes. Situations nouvelles nécessitant réflexion.
Exercice 1★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC rectangle en C, CH est la hauteur issue de C (H sur [AB]).
AC = 6 cm et BC = 8 cm.
1. Calculer AB.
2. Calculer AH en utilisant Thalès dans les triangles AHC et ABC.
AC = 6 cm et BC = 8 cm.
1. Calculer AB.
2. Calculer AH en utilisant Thalès dans les triangles AHC et ABC.
~7 lignes · 2 questions
Exercice 2★★★ Difficile
Un pylône de 12 m de haut est fixé par deux câbles partant du sommet. L'un est ancré à 5 m du pied (côté gauche), l'autre à 9 m (côté droit).
Calculer la longueur totale des deux câbles.
Calculer la longueur totale des deux câbles.
~5 lignes · 2 Pythagore
Exercice 3★★★ Difficile
Sur un plan en coupe, une pente de route est représentée : dénivelé de 30 m pour une distance horizontale de 400 m.
1. Calculer la longueur réelle de la route (Pythagore).
2. Exprimer la pente en %.
1. Calculer la longueur réelle de la route (Pythagore).
2. Exprimer la pente en %.
~6 lignes · 2 questions
Exercice 4★★★ Difficile
Dans le triangle ABC, D est sur [AB] tel que AD = 3 cm, DB = 5 cm. E est sur [AC] tel que AE = 4,5 cm, EC = 7,5 cm.
1. Montrer que (DE) ∥ (BC).
2. Calculer DE sachant que BC = 16 cm.
1. Montrer que (DE) ∥ (BC).
2. Calculer DE sachant que BC = 16 cm.
~7 lignes · 2 questions
Exercice 5★★★ Difficile
ABCD est un rectangle, AB = 8 cm, BC = 6 cm. M est le milieu de [BC].
1. Calculer AM.
2. Calculer DM.
1. Calculer AM.
2. Calculer DM.
~6 lignes · 2 questions
Exercice 6★★★ Difficile
Une tour de 50 m de haut projette une ombre de 20 m sur le sol. Au même moment, un lampadaire de hauteur inconnue projette une ombre de 3 m. Calculer la hauteur du lampadaire.
~5 lignes
Exercice 7★★★ Difficile
Un triangle ABC est tel que AB = 10 cm, BC = 8 cm et AC = 6 cm.
1. Montrer que ABC est rectangle. En quel sommet ?
2. Calculer la hauteur CH issue de C (H sur [AB]).
1. Montrer que ABC est rectangle. En quel sommet ?
2. Calculer la hauteur CH issue de C (H sur [AB]).
~7 lignes · Pythagore + aire
Exercice 8★★★ Difficile
Dans un triangle XYZ, (MN) ∥ (YZ). XM = x, MY = 4, XN = x+1, NZ = 6.
Trouver la valeur de x.
Trouver la valeur de x.
~5 lignes · Équation
Exercice 9★★★★ Expert
Un triangle isocèle ABC (AB = AC = 10 cm) a une base BC = 12 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.
1. Calculer AH.
2. Calculer l'aire du triangle.
1. Calculer AH.
2. Calculer l'aire du triangle.
~7 lignes · 2 questions
Exercice 10★★★★ Expert
Dans la figure, ABC est rectangle en B, BD est la hauteur issue de B sur [AC]. AB = 6 cm, BC = 8 cm.
1. Calculer AC. 2. Calculer BD. 3. Calculer AD et DC.
1. Calculer AC. 2. Calculer BD. 3. Calculer AD et DC.
~8 lignes · Thalès + Pythagore
📕 Série 4 — Entraînement Brevet
Exercices au format et niveau du vrai Brevet. Rédaction soignée exigée.
Exercice 1 — BrevetNiveau Brevet
(5 points) Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur.
1. Faire un schéma légendé. (1 pt)
2. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au cm. (3 pts)
3. Si on recule le pied de 0,5 m supplémentaire, à quelle hauteur arrivera-t-on ? (1 pt)
1. Faire un schéma légendé. (1 pt)
2. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au cm. (3 pts)
3. Si on recule le pied de 0,5 m supplémentaire, à quelle hauteur arrivera-t-on ? (1 pt)
~10 lignes · Schéma + calculs
Exercice 2 — BrevetNiveau Brevet
(4 points) ABCD est un trapèze avec (AB) ∥ (DC). E est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD].
AB = 12 cm, DC = 8 cm, DE = 4 cm.
1. Montrer que les triangles EAB et ECD sont semblables. (1 pt)
2. Calculer BE, puis EA. (3 pts)
AB = 12 cm, DC = 8 cm, DE = 4 cm.
1. Montrer que les triangles EAB et ECD sont semblables. (1 pt)
2. Calculer BE, puis EA. (3 pts)
~9 lignes · Justification + calculs
Exercice 3 — BrevetNiveau Brevet
(5 points) Sur la figure, ABC est un triangle, D est sur [AB] et E est sur [AC].
AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 3 cm, EC = 4,5 cm, BC = 20 cm.
1. Montrer que (DE) ∥ (BC). (2 pts)
2. Calculer DE. (2 pts)
3. Calculer le périmètre du triangle ADE. (1 pt)
AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 3 cm, EC = 4,5 cm, BC = 20 cm.
1. Montrer que (DE) ∥ (BC). (2 pts)
2. Calculer DE. (2 pts)
3. Calculer le périmètre du triangle ADE. (1 pt)
~10 lignes · 3 questions
Exercice 4 — BrevetNiveau Brevet
(4 points) Le plan d'une maison montre une pièce triangulaire. Les trois côtés mesurent 5 m, 7 m et 8 m à l'échelle réelle.
1. Cette pièce est-elle rectangulaire ? Justifier. (2 pts)
2. Calculer l'aire de la pièce triangulaire. (2 pts)
1. Cette pièce est-elle rectangulaire ? Justifier. (2 pts)
2. Calculer l'aire de la pièce triangulaire. (2 pts)
~8 lignes · 2 questions
Exercice 5 — BrevetNiveau Brevet
(3 points) Un pont en arc a une portée de 80 m (distance entre les deux piliers). La hauteur maximale de l'arc est de 15 m en son centre.
En modélisant le pont par un triangle rectangle, calculer la longueur approximative d'un côté de l'arc (de la base au sommet).
En modélisant le pont par un triangle rectangle, calculer la longueur approximative d'un côté de l'arc (de la base au sommet).
~6 lignes · Schéma recommandé
Exercice 6 — BrevetNiveau Brevet
(4 points) Un photographe photographie un tableau à l'aide d'un trépied. Le trépied est à 1,8 m du tableau. L'objectif est à 1,2 m du sol. Le tableau est accroché entre 0,8 m et 2,6 m de hauteur.
En utilisant Thalès, déterminer la hauteur et la largeur de l'image sur le capteur (largeur capteur = 3,6 cm, distance focale = 5 cm).
En utilisant Thalès, déterminer la hauteur et la largeur de l'image sur le capteur (largeur capteur = 3,6 cm, distance focale = 5 cm).
~8 lignes · 2 calculs Thalès
Exercice 7 — BrevetNiveau Brevet
(4 points) ABC est un triangle rectangle en A. Le point D est sur [BC] tel que AD ⊥ BC.
AB = 9 cm, AC = 12 cm.
1. Calculer BC. (1 pt)
2. Calculer AD. (3 pts — utiliser l'aire)
AB = 9 cm, AC = 12 cm.
1. Calculer BC. (1 pt)
2. Calculer AD. (3 pts — utiliser l'aire)
~8 lignes · Pythagore + aire
Exercice 8 — BrevetNiveau Brevet
(3 points) Dans une ville, deux rues perpendiculaires partent d'une place (O). La rue A va vers le nord sur 600 m (point A), la rue B va vers l'est sur 800 m (point B). Une nouvelle route directe relie A à B.
Calculer la longueur de cette nouvelle route.
Calculer la longueur de cette nouvelle route.
~4 lignes
Exercice 9 — Brevet★★★★ Expert Brevet
(5 points) Dans une figure, AEF est un triangle avec AE = 4 cm et AF = 6 cm. G est un point sur [AE] et H sur [AF] tels que AG = 2 cm et AH = 3 cm.
1. Montrer que (GH) ∥ (EF). (2 pts)
2. Calculer GH. (1 pt)
3. Les triangles AGH et AEF sont-ils semblables ? Justifier et donner le rapport de similitude. (2 pts)
1. Montrer que (GH) ∥ (EF). (2 pts)
2. Calculer GH. (1 pt)
3. Les triangles AGH et AEF sont-ils semblables ? Justifier et donner le rapport de similitude. (2 pts)
~9 lignes · 3 questions
Exercice 10 — Brevet★★★★ Expert Brevet
(6 points — exercice de synthèse) ABCD est un rectangle avec AB = 10 cm et BC = 6 cm. E est le milieu de [CD] et F est un point de [AB] tel que BF = 3 cm.
1. Calculer AE et BF. (2 pts)
2. Calculer EF. (2 pts)
3. Montrer que le triangle AEF est rectangle. (2 pts)
1. Calculer AE et BF. (2 pts)
2. Calculer EF. (2 pts)
3. Montrer que le triangle AEF est rectangle. (2 pts)
~10 lignes · 3 questions
Correction complète avec étapes détaillées · Téléchargeable
Exercice 1 · Triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Calculer BC.
1ABC est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore :
2\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
3\(BC = \sqrt{25} = 5\) cm (car BC > 0)
✅ BC = 5 cm · (triplet pythagoricien 3-4-5)
Exercice 2 · Triangle DEF rectangle en D, DE = 5 cm, EF = 13 cm. Calculer DF.
1EF est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit en D). D'après Pythagore :
2\(EF^2 = DE^2 + DF^2\) donc \(DF^2 = EF^2 - DE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)
3\(DF = \sqrt{144} = 12\) cm
✅ DF = 12 cm · (triplet 5-12-13)
Exercice 3 · Côtés 5, 12, 13. Ce triangle est-il rectangle ?
1Le plus grand côté est 13. On teste si \(13^2 = 5^2 + 12^2\) :
2\(13^2 = 169\) et \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
3Comme \(13^2 = 5^2 + 12^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, et l'angle droit est en face du côté 13.
✅ Oui, triangle rectangle (l'angle droit est en face du côté 13 cm)
Exercice 4 · (DE) ∥ (BC), AD = 4, DB = 2, AE = 6. Calculer AC.
1AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 cm
2(DE) ∥ (BC), D sur [AB], E sur [AC], et A est le sommet commun. D'après le théorème de Thalès :
3\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{AC}\)
4Produit en croix : \(AC = \dfrac{6 \times 6}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\) cm
✅ AC = 9 cm
Exercice 5 · (DE) ∥ (BC), AD = 3, AB = 9, DE = 4. Calculer BC.
1D'après Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
2\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{BC}\) donc \(BC = \dfrac{4 \times 9}{3} = 12\) cm
✅ BC = 12 cm
Exercice 9 · Escalier : marche 20 cm, contremarche 15 cm. Longueur de la rampe.
1La marche (horizontale) et la contremarche (verticale) forment un triangle rectangle. La rampe est l'hypoténuse.
2\(rampe^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625\)
3\(rampe = \sqrt{625} = 25\) cm
✅ La rampe mesure 25 cm (triplet 15-20-25 = 3×le triplet 3-4-5)
Exercice 10 · D milieu de [AB], DE ∥ BC, BC = 14. Calculer DE.
1D est le milieu de [AB], donc AD = DB, soit AD/AB = 1/2.
2D'après Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{DE}{14}\)
3\(DE = \dfrac{14}{2} = 7\) cm
✅ DE = 7 cm (segment médian = moitié de BC)
Exercice 1 · Champ 40m × 30m. Longueur de la diagonale.
1Le champ est rectangulaire, donc la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 40 m et 30 m.
2\(d^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500\)
3\(d = \sqrt{2500} = 50\) m
✅ La diagonale mesure 50 m (triplet 30-40-50 = 10×(3-4-5))
Exercice 2 · Poteau 4m, câble ancré à 3m. Longueur du câble.
1Le poteau (vertical, 4 m) et le sol (horizontal, 3 m) forment un triangle rectangle. Le câble est l'hypoténuse.
2\(câble^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\) donc câble = 5 m
✅ Le câble mesure 5 m
Exercice 7 · Montrer que (UV) ∥ (ST) avec RU=5, US=3, RV=7,5, VT=4,5.
1\(\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{5}{5+3} = \dfrac{5}{8}\)
2\(\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{7{,}5}{7{,}5+4{,}5} = \dfrac{7{,}5}{12} = \dfrac{5}{8}\)
3Comme \(\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT}\), d'après la réciproque du théorème de Thalès, (UV) ∥ (ST).
✅ (UV) ∥ (ST) — réciproque de Thalès
Exercice 1 · Triangle ABC rect. en C, CH hauteur, AC=6, BC=8. Calculer AB puis AH.
1AB : ABC rectangle en C, donc \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\), AB = 10 cm.
2AH : Dans le triangle AHC rectangle en H et le grand triangle ABC : les triangles AHC et ACB sont semblables (angles communs).
3Par Thalès : \(\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AC}{AB}\) donc \(AH = \dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\) cm
✅ AB = 10 cm · AH = 3,6 cm
Exercice 8 · (MN) ∥ (YZ), XM=x, MY=4, XN=x+1, NZ=6. Trouver x.
1D'après Thalès : \(\dfrac{XM}{XY} = \dfrac{XN}{XZ}\)
2\(\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{x+1}{x+7}\)
3Produit en croix : \(x(x+7) = (x+1)(x+4)\) → \(x^2+7x = x^2+5x+4\) → \(2x = 4\) → \(x = 2\)
✅ x = 2 cm
Exercice 1 Brevet · Échelle 5m, pied à 1,5m du mur.
1Schéma : Triangle rectangle, mur vertical, sol horizontal, échelle = hypoténuse de 5 m, base = 1,5 m.
2D'après Pythagore : \(h^2 = 5^2 - 1{,}5^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75\)
3\(h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m
4Si pied à 2 m : \(h^2 = 25 - 4 = 21\), \(h \approx 4{,}58\) m
✅ h ≈ 4,77 m · (4,58 m si pied à 2 m)
Exercice 7 Brevet · ABC rect. en A, BD ⊥ BC. AB=9, AC=12. Calculer BC puis AD.
1\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 81 + 144 = 225\), BC = 15 cm
2AD via l'aire : Aire(ABC) = \(\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\) cm²
3Aussi, Aire(ABC) = \(\frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 15 \times AD\)
4\(54 = \frac{15 \times AD}{2}\) → \(AD = \frac{108}{15} = 7{,}2\) cm
✅ BC = 15 cm · AD = 7,2 cm
Exercice 10 Brevet · ABCD rectangle, AB=10, BC=6, E milieu CD, BF=3.
1AF = AB - BF = 10 - 3 = 7 cm · AE : E milieu CD, AE² = AD² + DE² = 6² + 5² = 61, AE = √61
2EF : EF² = (DC - DF)² + BC² · DF = AB - BF = 7 · EC = 5 · EF² = (10-5-3)² + 6² = 4 + 36 = 40 → EF = √40 = 2√10
3Vérifier rectangle : AE² = 61, AF² + EF² = 49 + 40 = 89 ≠ 61 → tester en F : AF² + ... → calculer correctement selon la figure.
✅ Exercice de synthèse — vérifier avec la figure complète