△ Théorème, réciproque et contraposée
Ce qu'il faut savoir
- Théorème direct : calculer l'hypoténuse ou un côté
- Réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle
- Contraposée : démontrer qu'un triangle N'est PAS rectangle
- Triplets classiques à connaître
\(c^2 = a^2+b^2\) (c = hypoténuse)
Côté manquant : \(a = \sqrt{c^2-b^2}\)
Calculer un côté avec le théorème
- Identifier le triangle rectangle et son angle droit
- Repérer l'hypoténuse (en face de l'angle droit)
- Écrire la relation de Pythagore
- Calculer le carré manquant, puis la racine carrée
Utiliser la réciproque
- Calculer le carré du plus grand côté
- Calculer la somme des carrés des deux autres
- Si les deux sont égaux → le triangle est rectangle
- Si différents → il n'est pas rectangle (contraposée)
Pièges fréquents
- L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit, et c'est le plus grand côté
- Pour la réciproque, toujours comparer le carré du PLUS GRAND côté à la somme des deux autres
✏️ Exemples types
Hypoténuse : ABC rectangle en A, AB=3, AC=4 → \(BC^2=3^2+4^2=25\) → BC=5
Triplets classiques : (3,4,5) — (5,12,13) — (8,15,17)
∥ Théorème de Thalès
Ce qu'il faut savoir
- Configuration : triangle + droites parallèles
- Théorème direct : calculer une longueur
- Réciproque : démontrer un parallélisme
- Racines carrées utiles : \(\sqrt{4}=2\) ... \(\sqrt{100}=10\)
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\)
Calculer une longueur avec Thalès
- Vérifier la configuration (triangle + droites parallèles)
- Écrire l'égalité des rapports selon Thalès
- Identifier la longueur inconnue
- Effectuer le produit en croix pour l'isoler
Utiliser la réciproque
- Vérifier que M∈[AB] et N∈[AC], dans le bon ordre
- Comparer \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\)
- Si égaux → (MN) et (BC) sont parallèles
Pièges fréquents
- Bien respecter l'ordre des points dans les rapports (AM/AB, pas AM/MB)
- Pour la réciproque, vérifier aussi que les points sont bien alignés dans le bon ordre
✏️ Exemple type
AM=25, AB=45, AN=20 : \(\dfrac{25}{45}=\dfrac{20}{AC}\) → \(AC=\dfrac{20\times45}{25}=36\) mm
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Calcule \(\sqrt{49}\).
~1 ligne
Exercice 2★ Facile
Calcule \(\sqrt{81}\).
~1 ligne
Exercice 3★ Facile
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. Calcule son hypoténuse.
~3 lignes
Exercice 4★ Facile
Triangle rectangle en A, \(AB=5\) cm, \(AC=12\) cm. Calcule \(BC\).
~3 lignes
Exercice 5★ Facile
Calcule \((\sqrt{7})^2\).
~1 ligne
Exercice 6★★ Intermédiaire
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 9 cm et 12 cm. Calcule son hypoténuse.
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC, (MN)∥(BC), \(AM=10\), \(AB=20\), \(AN=8\). Calcule \(AC\).
~4 lignes · Thalès
Exercice 8★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC, (MN)∥(BC), \(AM=6\), \(AB=18\), \(BC=15\). Calcule \(MN\).
~4 lignes · Thalès
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Triangle rectangle en A, \(BC=10\) cm (hypoténuse), \(AB=6\) cm. Calcule \(AC\).
~4 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Triangle rectangle en A, \(BC=13\) cm (hypoténuse), \(AB=5\) cm. Calcule \(AC\).
~4 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?
~4 lignes · réciproque
Exercice 4★★ Intermédiaire
Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm. Est-il rectangle ?
~4 lignes · contraposée
Exercice 5★★ Intermédiaire
Entre quels deux entiers consécutifs se trouve \(\sqrt{50}\) ?
~3 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Triangle rectangle en A, \(AB=7\) cm, \(AC=24\) cm. Calcule \(BC\).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Dans un triangle ABC, (MN)∥(BC), \(AM=12\), \(AB=20\), \(AC=25\). Calcule \(AN\).
~4 lignes · Thalès
Exercice 8★★ Intermédiaire
\(AM=4\), \(AB=10\), \(AN=6\), \(AC=15\). Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
~5 lignes · réciproque de Thalès
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ? Justifie avec le calcul complet.
~5 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
~5 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
La diagonale d'un carré mesure 10 cm. Calcule la longueur de son côté.
~5 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Triangle rectangle en A, \(BC=15\) cm (hypoténuse), \(AC=9\) cm. Calcule \(AB\).
~4 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Un rectangle a une longueur de 12 cm et une largeur de 5 cm. Calcule la longueur de sa diagonale.
~4 lignes
Exercice 6★★★★ Expert
Démontre que 9, 12 et 15 forment un triplet de Pythagore.
~3 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Encadre \(\sqrt{20}\) entre deux entiers consécutifs.
~3 lignes
Exercice 8★★★ Difficile
Dans un triangle ABC, (MN)∥(BC), \(AM=15\), \(AB=25\), \(BC=40\). Calcule \(MN\).
~4 lignes · Thalès
Exercice 9★★★★ Expert
Un poteau de 2 m de haut projette une ombre de 3 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
~5 lignes · triangles semblables
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) Triangle rectangle en A, \(AB=8\) cm, \(AC=15\) cm. Calcule \(BC\).
~4 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Triangle rectangle en A, \(BC=17\) cm (hypoténuse), \(AB=8\) cm. Calcule \(AC\).
~4 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Un triangle a pour côtés 10 cm, 24 cm et 26 cm. Démontre qu'il est rectangle.
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Une piscine rectangulaire mesure 20 m de long et 15 m de large. Calcule la longueur de sa diagonale.
~5 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Encadre \(\sqrt{30}\) entre deux entiers consécutifs.
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) Un cerf-volant a une croix formée de deux tiges perpendiculaires de 60 cm et 80 cm, qui se coupent en leur milieu. Calcule le périmètre du losange formé en reliant les extrémités des tiges.
~7 lignes · demi-diagonales
Exercice 7Contrôle
(4 pts) Dans un triangle ABC, (MN)∥(BC), \(AM=18\), \(AB=30\), \(AN=21\). Calcule \(AC\).
~5 lignes · Thalès
Exercice 8★★★★ Synthèse
(5 pts) Un phare de 15 m de haut projette une ombre de 20 m à midi. Une personne de 1,8 m projette une ombre de combien au même moment ?
~5 lignes · triangles semblables
Correction complète · Téléchargeable
Ex 3 · Hypoténuse (côtés 6 et 8)
1\(c^2 = 6^2+8^2 = 36+64 = 100\)
✅ \(c=\sqrt{100}=10\) cm
Ex 4 · AB=5, AC=12, calcule BC
1\(BC^2=5^2+12^2=25+144=169\)
✅ BC = 13 cm
Ex 6 · Hypoténuse (côtés 9 et 12)
1\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\)
✅ c = 15 cm
Ex 7 · Thalès : AM=10,AB=20,AN=8, calcule AC
1\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) → \(\dfrac{10}{20}=\dfrac{8}{AC}\)
✅ AC = 16
Ex 8 · Thalès : AM=6,AB=18,BC=15, calcule MN
1\(\dfrac{6}{18}=\dfrac{MN}{15}\)
✅ MN = 5
Ex 1 · BC=10 (hyp), AB=6, calcule AC
1\(AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=100-36=64\)
✅ AC = 8 cm
Ex 3 · Triangle 6,8,10 rectangle ?
1Plus grand côté : \(10^2=100\)
2\(6^2+8^2=36+64=100\)
✅ Oui, il est rectangle (100=100)
Ex 4 · Triangle 5,6,8 rectangle ?
1Plus grand côté : \(8^2=64\)
2\(5^2+6^2=25+36=61\)
✅ Non, il n'est pas rectangle (64≠61)
Ex 6 · AB=7, AC=24, calcule BC
1\(BC^2=7^2+24^2=49+576=625\)
✅ BC = 25 cm
Ex 7 · Thalès : AM=12,AB=20,AC=25, calcule AN
1\(\dfrac{12}{20}=\dfrac{AN}{25}\)
✅ AN = 15
Ex 8 · Réciproque : AM=4,AB=10,AN=6,AC=15
1\(\dfrac{4}{10}=0{,}4\) et \(\dfrac{6}{15}=0{,}4\)
✅ Oui, les rapports sont égaux : (MN) ∥ (BC)
Ex 1 · Triangle 7,24,25 rectangle ?
1Plus grand côté : \(25^2=625\)
2\(7^2+24^2=49+576=625\)
✅ Oui, il est rectangle
Ex 2 · Échelle 5m, pied à 3m
1\(h^2=5^2-3^2=25-9=16\)
✅ h = 4 m
Ex 3 · Diagonale du carré = 10cm
1\(c^2+c^2=10^2\) donc \(2c^2=100\)
2\(c^2=50\)
✅ \(c=\sqrt{50}\approx7{,}07\) cm
Ex 6 · 9,12,15 triplet ?
1\(15^2=225\)
2\(9^2+12^2=81+144=225\)
✅ Oui, c'est un triplet valide
Ex 8 · Thalès : AM=15,AB=25,BC=40, calcule MN
1\(\dfrac{15}{25}=\dfrac{MN}{40}\)
✅ MN = 24
Ex 9 · Poteau 2m/ombre 3m, arbre ombre 12m
1Triangles semblables : \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{h}{12}\)
✅ h = 8 m
Ex 1 Contrôle · AB=8, AC=15, calcule BC
1\(BC^2=8^2+15^2=64+225=289\)
✅ BC = 17 cm
Ex 3 Contrôle · Triangle 10,24,26 rectangle ?
1Plus grand côté : \(26^2=676\)
2\(10^2+24^2=100+576=676\)
✅ Oui, il est rectangle
Ex 4 Contrôle · Piscine 20m × 15m, diagonale
1\(d^2=20^2+15^2=400+225=625\)
✅ d = 25 m
Ex 6 Contrôle · Cerf-volant, tiges 60cm et 80cm
1Les demi-diagonales sont 30 cm et 40 cm
2Côté du losange : \(c^2=30^2+40^2=900+1600=2500\)
3\(c=\sqrt{2500}=50\) cm
✅ Périmètre = 4×50 = 200 cm
Ex 7 Contrôle · Thalès : AM=18,AB=30,AN=21, calcule AC
1\(\dfrac{18}{30}=\dfrac{21}{AC}\)
✅ AC = 35
Ex 8 Contrôle · Phare 15m/ombre 20m, personne 1,8m
1\(\dfrac{15}{20}=\dfrac{1{,}8}{x}\)
2\(x=\dfrac{1{,}8\times20}{15}\)
✅ x = 2,4 m