½ Les fractions
Ce qu'il faut savoir
- Numérateur (en haut) et dénominateur (en bas)
- Comparer une fraction à 1
- Reconnaître des fractions égales
- Décomposer une fraction > 1
\(\dfrac{a}{b}\) : \(a\) parties d'un tout divisé en \(b\) parts égales
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}\) pour tout \(k \neq 0\)
Comparer une fraction à 1
- Comparer le numérateur \(a\) et le dénominateur \(b\)
- Si \(a < b\) alors \(\dfrac{a}{b} < 1\)
- Si \(a = b\) alors \(\dfrac{a}{b} = 1\)
- Si \(a > b\) alors \(\dfrac{a}{b} > 1\)
Décomposer une fraction en partie entière
- Diviser le numérateur par le dénominateur
- Le quotient est la partie entière
- Le reste donne la fraction restante
- Ex : \(\dfrac{11}{4}\) → 11=4×2+3 → \(2+\dfrac{3}{4}\)
Pièges fréquents
- \(\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{4}{3}\) — l'ordre compte : numérateur en haut
- Ne pas confondre \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}\) (multiplier) avec additionner un nombre au numérateur et au dénominateur
- \(\dfrac{0}{5} = 0\) mais \(\dfrac{5}{0}\) n'existe pas (dénominateur ≠ 0)
✏️ Exemples types
Comparer à 1 : \(\dfrac{11}{15} < 1\), \(\dfrac{15}{15} = 1\), \(\dfrac{17}{15} > 1\)
Fractions égales : \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{12}\)
Décomposer : \(\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}\) (car 7 = 3×2+1)
0,1 Les nombres décimaux
Structure d'un nombre décimal
- Partie entière (avant la virgule)
- Partie décimale (après la virgule)
- Rangs : dixièmes, centièmes, millièmes
- Comparer deux décimaux
12,507 → partie entière 12 · dixièmes 5 · centièmes 0 · millièmes 7
Comparer deux nombres décimaux
- Comparer d'abord les parties entières
- Si égales, comparer les dixièmes
- Si toujours égaux, comparer les centièmes, etc.
- Ex : \(3,45 < 3,5\) car 4 dixièmes < 5 dixièmes
Encadrer un nombre décimal
- Trouver l'entier juste en dessous et juste au-dessus
- Ex : \(7 < 7,32 < 8\) (encadrement à l'unité)
- Ex : \(7,3 < 7,32 < 7,4\) (encadrement au dixième)
Pièges fréquents
- \(3,4 \neq 3,04\) — un zéro après la virgule change le rang !
- \(3,5 = 3,50 = 3,500\) — les zéros à la fin ne changent rien
- Comparer 2,9 et 2,15 : c'est bien \(2,9 > 2,15\) (9 dixièmes > 1 dixième), pas l'inverse !
✏️ Exemples types
Comparer : \(5,08 < 5,8\) car 0 dixième < 8 dixièmes
Encadrer : \(4,6 < 4,63 < 4,7\) (au dixième près)
Ranger : \(2,05 < 2,5 < 2,55\)
🔗 Fractions et décimaux : le lien
Stratégie
- Une fraction peut toujours s'écrire comme un nombre décimal (ou une division qui ne s'arrête jamais)
- \(\dfrac{a}{b}\) se calcule en divisant \(a\) par \(b\)
- Certaines fractions usuelles sont à connaître par cœur
À connaître par cœur
- \(\dfrac{1}{2} = 0,5\) · \(\dfrac{1}{4} = 0,25\) · \(\dfrac{3}{4} = 0,75\)
- \(\dfrac{1}{10} = 0,1\) · \(\dfrac{1}{100} = 0,01\)
- \(\dfrac{1}{5} = 0,2\) · \(\dfrac{1}{3} \approx 0,333...\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte · Fractions et décimaux
Exercice 1★ Facile
Dans la fraction \(\dfrac{3}{7}\), donne le numérateur puis le dénominateur.
~1 ligne
Exercice 2★ Facile
Compare \(\dfrac{5}{8}\) à 1.
~1 ligne
Exercice 3★ Facile
Compare \(\dfrac{9}{9}\) à 1.
~1 ligne
Exercice 4★ Facile
Compare \(\dfrac{11}{6}\) à 1.
~1 ligne
Exercice 5★ Facile
Écris une fraction égale à \(\dfrac{1}{3}\) en multipliant numérateur et dénominateur par 4.
~2 lignes
Exercice 6★ Facile
Sachant que \(6=2\times3\) et \(8=2\times4\), simplifie la fraction \(\dfrac{6}{8}\).
~2 lignes
Exercice 7★ Facile
Range dans l'ordre croissant : 4,5 · 4,05 · 4,15
~1 ligne
Exercice 8★ Facile
Compare 3,7 et 3,70. Que remarques-tu ?
~2 lignes
Exercice 9★★ Intermédiaire
Donne la partie entière et la partie décimale de 15,382.
~1 ligne
Exercice 10★★ Intermédiaire
Quel est le chiffre des centièmes dans 7,246 ?
~1 ligne
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Décompose \(\dfrac{9}{4}\) en une partie entière et une fraction.
~3 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Donne deux fractions égales à \(\dfrac{2}{5}\).
~2 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Range dans l'ordre décroissant : \(\dfrac{2}{3}\) · \(\dfrac{5}{3}\) · \(\dfrac{1}{3}\)
~2 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Encadre 6,47 par deux entiers consécutifs.
~2 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Encadre 6,47 au dixième près.
~2 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Range dans l'ordre croissant : 5,2 · 5,19 · 5,199
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Un gâteau est coupé en 8 parts égales. Léo en mange 3. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Une pizza est coupée en 6 parts égales. Combien de parts représentent \(\dfrac{2}{3}\) de la pizza ?
~3 lignes · fractions égales
Exercice 9★★ Intermédiaire
Vrai ou faux : \(\dfrac{12}{12} = 1\). Justifie.
~2 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Trouve le nombre \(x\) tel que \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{x}{20}\).
~3 lignes · fractions égales
Exercice 2★★★ Difficile
Range dans l'ordre croissant (même numérateur) : \(\dfrac{3}{4}\) · \(\dfrac{3}{5}\) · \(\dfrac{3}{8}\)
~4 lignes · plus le dénominateur est grand, plus la part est petite
Exercice 3★★★ Difficile
Un fermier possède un champ carré. Il en cultive \(\dfrac{5}{9}\). Quelle fraction du champ reste en friche ?
~3 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Décompose \(\dfrac{23}{6}\) en partie entière et fraction.
~3 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Range dans l'ordre croissant : 8,001 · 8,01 · 8,1 · 8,0
~3 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Justifie, sans poser d'opération, si \(\dfrac{40}{9}\) est inférieur ou supérieur à 5.
~4 lignes · comparer 40 et 9×5
Exercice 7★★★ Difficile
Justifie pourquoi \(\dfrac{7}{2}\) n'est pas un nombre entier.
~2 lignes
Exercice 8★★★ Difficile
Trouve un nombre décimal compris entre 3,4 et 3,5.
~2 lignes
Exercice 9★★★★ Expert
Compare \(\dfrac{15}{8}\) et \(\dfrac{15}{5}\) sans les calculer, en justifiant.
~4 lignes · même numérateur
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(2 pts) Compare et range dans l'ordre croissant : \(\dfrac{7}{4}\) · 1 · \(\dfrac{3}{4}\)
~3 lignes
Exercice 2Contrôle
(2 pts) Range dans l'ordre décroissant : 12,3 · 12,03 · 12,33
~2 lignes
Exercice 3Contrôle
(3 pts) Sachant que \(\dfrac{5}{3} = 1 + \dfrac{2}{3}\), décompose de la même façon \(\dfrac{13}{5}\).
~4 lignes
Exercice 4Contrôle
(3 pts) Range dans l'ordre croissant : 9,08 · 9,8 · 9,088
~3 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Trouve 3 nombres décimaux compris entre 6,2 et 6,3.
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(4 pts) Un jardinier partage un terrain rectangulaire en 12 parcelles égales. Il en vend 7.
1. Quelle fraction du terrain a-t-il vendue ? (2 pts)
2. Cette fraction est-elle supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) ? Justifie. (2 pts)
1. Quelle fraction du terrain a-t-il vendue ? (2 pts)
2. Cette fraction est-elle supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) ? Justifie. (2 pts)
~6 lignes · 2 questions
Exercice 7★★★★ Synthèse
(5 pts) Soit \(A = \dfrac{27}{6}\).
1. \(A\) est-il supérieur à 1 ? Pourquoi ? (2 pts)
2. Décompose \(A\) en partie entière et fraction. (3 pts)
1. \(A\) est-il supérieur à 1 ? Pourquoi ? (2 pts)
2. Décompose \(A\) en partie entière et fraction. (3 pts)
~6 lignes · 2 questions
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Numérateur / dénominateur de \(\dfrac{3}{7}\)
1Le numérateur est le nombre du haut : 3
2Le dénominateur est le nombre du bas : 7
✅ Numérateur = 3 · Dénominateur = 7
Ex 2 · Comparer \(\dfrac{5}{8}\) à 1
1Le numérateur (5) est plus petit que le dénominateur (8)
✅ \(\dfrac{5}{8} < 1\)
Ex 3 · Comparer \(\dfrac{9}{9}\) à 1
1Le numérateur et le dénominateur sont égaux (9 = 9)
✅ \(\dfrac{9}{9} = 1\)
Ex 4 · Comparer \(\dfrac{11}{6}\) à 1
1Le numérateur (11) est plus grand que le dénominateur (6)
✅ \(\dfrac{11}{6} > 1\)
Ex 6 · Simplifier \(\dfrac{6}{8}\)
1\(6 = 2 \times 3\) et \(8 = 2 \times 4\)
2\(\dfrac{6}{8} = \dfrac{2\times3}{2\times4} = \dfrac{3}{4}\)
✅ \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
Ex 7 · Ranger 4,5 · 4,05 · 4,15
1Toutes ont la même partie entière (4), on compare les dixièmes
24,05 a 0 dixième · 4,15 a 1 dixième · 4,5 a 5 dixièmes
✅ 4,05 < 4,15 < 4,5
Ex 8 · Comparer 3,7 et 3,70
13,7 = 3,70 (7 dixièmes = 70 centièmes)
2Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur
✅ 3,7 = 3,70
Ex 1 · Décomposer \(\dfrac{9}{4}\)
1Diviser 9 par 4 : \(9 = 4 \times 2 + 1\)
2Partie entière = 2, reste = 1
✅ \(\dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\)
Ex 3 · Ranger \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{5}{3}\), \(\dfrac{1}{3}\) (décroissant)
1Même dénominateur → on compare les numérateurs
25 > 2 > 1
✅ \(\dfrac{5}{3} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}\)
Ex 7 · Gâteau en 8 parts, Léo mange 3
1Il reste \(8 - 3 = 5\) parts sur 8
✅ Il reste \(\dfrac{5}{8}\) du gâteau
Ex 8 · Pizza en 6 parts, combien pour \(\dfrac{2}{3}\) ?
1\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\times2}{3\times2} = \dfrac{4}{6}\) (fractions égales)
✅ 4 parts sur 6 représentent \(\dfrac{2}{3}\) de la pizza
Ex 1 · Trouver x tel que \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{x}{20}\)
1\(20 = 5 \times 4\), donc on multiplie aussi le numérateur par 4
2\(x = 3 \times 4 = 12\)
✅ \(x = 12\)
Ex 2 · Ranger \(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{3}{8}\) (croissant)
1Même numérateur → plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite
28 > 5 > 4 donc \(\dfrac{3}{8}\) est la plus petite
✅ \(\dfrac{3}{8} < \dfrac{3}{5} < \dfrac{3}{4}\)
Ex 6 · \(\dfrac{40}{9}\) inférieur ou supérieur à 5 ?
15 s'écrit \(\dfrac{45}{9}\) (car \(5\times9=45\))
2\(40 < 45\) donc \(\dfrac{40}{9} < \dfrac{45}{9}\)
✅ \(\dfrac{40}{9} < 5\)
Ex 8 · Décimal entre 3,4 et 3,5
1Il suffit de choisir un nombre avec des centièmes, par exemple 3,45
✅ 3,45 convient (il y en a une infinité)
Ex 3 Contrôle · Décomposer \(\dfrac{13}{5}\)
1\(13 = 5 \times 2 + 3\)
2Partie entière = 2, reste = 3
✅ \(\dfrac{13}{5} = 2 + \dfrac{3}{5}\)
Ex 6 Contrôle · Terrain en 12 parcelles, 7 vendues
1Fraction vendue : \(\dfrac{7}{12}\)
2\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\). Comme \(7 > 6\), \(\dfrac{7}{12} > \dfrac{6}{12}\)
✅ \(\dfrac{7}{12}\) vendue, et \(\dfrac{7}{12} > \dfrac{1}{2}\)
Ex 7 Contrôle · \(A=\dfrac{27}{6}\)
1\(27 > 6\) donc \(A > 1\)
2\(27 = 6 \times 4 + 3\) → partie entière 4, reste 3
3\(A = 4 + \dfrac{3}{6} = 4 + \dfrac{1}{2}\) (en simplifiant \(\dfrac{3}{6}\))
✅ \(A > 1\) · \(A = 4 + \dfrac{1}{2}\)