△ Triangles & Quadrilatères
Ce qu'il faut savoir
- Somme des angles d'un triangle = 180°
- Inégalité triangulaire (constructibilité)
- Triangles particuliers : isocèle, équilatéral, rectangle
- Quadrilatères particuliers et leurs diagonales
\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°\)
Inégalité triangulaire : le plus grand côté < somme des deux autres
Vérifier si un triangle est constructible
- Identifier le plus grand côté
- Vérifier : plus grand côté < somme des deux autres
- Si oui : triangle constructible, si non : impossible
- Ex : côtés 3, 4, 8 → 8 > 3+4=7 → impossible
Reconnaître un quadrilatère
- 4 côtés égaux → losange
- 4 angles droits → rectangle
- Les deux à la fois → carré
Pièges fréquents
- Un carré EST un rectangle (et aussi un losange) — l'inverse est faux
- La somme des angles d'un triangle est 180°, pas 360° (ça, c'est un quadrilatère)
✏️ Exemple type
Triangle ABC avec \(\hat{A}=55°\) et \(\hat{B}=70°\) : \(\hat{C} = 180° - 55° - 70° = 55°\). Le triangle est isocèle en B (car \(\hat{A}=\hat{C}\)).
↔ Symétrie axiale
Ce qu'il faut savoir
- Le symétrique d'un point par rapport à un axe
- L'axe (d) est la médiatrice de [AA']
- Propriétés conservées : longueurs, angles
- Axes de symétrie d'une figure
A et A' symétriques ⟺ (d) ⊥ [AA'] et (d) passe par le milieu de [AA']
Construire le symétrique d'un point
- Tracer la perpendiculaire à l'axe (d) passant par A
- Mesurer la distance de A à l'axe
- Reporter la même distance de l'autre côté
- Vérifier que le milieu de [AA'] est bien sur (d)
Nombre d'axes de symétrie
- Cercle : une infinité d'axes
- Carré : 4 axes · Rectangle : 2 axes
- Losange : 2 axes (ses diagonales)
- Triangle équilatéral : 3 axes
Pièges fréquents
- Les diagonales d'un rectangle (non carré) ne sont PAS des axes de symétrie
- Une figure symétrique conserve les longueurs : si AB=7cm alors A'B'=7cm
✏️ Exemple type
A est à 4 cm de l'axe (d). Son symétrique A' est de l'autre côté de (d), également à 4 cm — la distance totale AA' est donc de 8 cm.
∠ Les angles
Ce qu'il faut savoir
- Types : aigu, droit, obtus, plat, plein
- Angles supplémentaires (somme = 180°)
- Angles complémentaires (somme = 90°)
- La bissectrice partage un angle en deux angles égaux
Angle droit = 90° · Angle plat = 180°
Supplémentaires : \(\alpha+\beta=180°\)
Utiliser le rapporteur
- Placer le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle
- Aligner la graduation 0° avec un côté
- Lire la mesure sur l'autre côté
- Choisir la bonne graduation selon aigu/obtus
Pièges fréquents
- Un angle aigu est strictement inférieur à 90° (90° = droit, pas aigu)
- Bien choisir la bonne graduation du rapporteur (double graduation)
✏️ Exemple type
Deux angles supplémentaires : l'un vaut 65°, l'autre vaut \(180° - 65° = 115°\).
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Peut-on construire un triangle avec les côtés 3, 4 et 8 cm ?
~3 lignes
Exercice 2★ Facile
Peut-on construire un triangle avec les côtés 5, 6 et 9 cm ?
~3 lignes
Exercice 3★ Facile
Un triangle a deux angles de 60°. Que vaut le troisième angle ? Comment s'appelle ce triangle ?
~3 lignes
Exercice 4★ Facile
Un losange a-t-il forcément 4 angles droits ?
~1 ligne
Exercice 5★ Facile
Classe l'angle 40° (aigu, droit, obtus, plat ou plein).
~1 ligne
Exercice 6★ Facile
Classe l'angle 150°.
~1 ligne
Exercice 7★ Facile
Deux angles supplémentaires. L'un vaut 100°. Quel est l'autre ?
~2 lignes
Exercice 8★ Facile
Deux angles complémentaires. L'un vaut 35°. Quel est l'autre ?
~2 lignes
Exercice 9★★ Intermédiaire
Combien d'axes de symétrie a un cercle ?
~1 ligne
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Triangle ABC avec \(\hat{A}=50°\) et \(\hat{B}=60°\). Calcule \(\hat{C}\).
~3 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Un triangle a deux angles égaux à 45°. Trouve le troisième angle. Que remarques-tu ?
~3 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
A est à 5 cm de l'axe (d). Où se trouve son symétrique A' ? Que vaut AA' ?
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Combien d'axes de symétrie a un rectangle non carré ?
~1 ligne
Exercice 5★★ Intermédiaire
Combien d'axes de symétrie a un triangle équilatéral ?
~1 ligne
Exercice 6★★ Intermédiaire
\(AB = 6\) cm. \(A'B'\) est le symétrique de \([AB]\) par rapport à un axe. Que vaut \(A'B'\) ?
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Peut-on construire un triangle avec les côtés 2, 3 et 7 cm ?
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
La bissectrice d'un angle de 80° le partage en deux angles égaux. Que vaut chacun ?
~2 lignes
Exercice 9★★ Intermédiaire
Un angle mesure 130°. Quel est son supplémentaire ?
~2 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Un triangle isocèle a un angle au sommet de 40°. Calcule les deux angles à la base (qui sont égaux).
~4 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Explique pourquoi un cercle a une infinité d'axes de symétrie.
~3 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Le plus grand côté d'un triangle mesure 10 cm, un autre côté mesure 4 cm. Le troisième côté peut-il mesurer 3 cm ? Justifie.
~4 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Un carré et un losange ont-ils le même nombre d'axes de symétrie ? Justifie.
~3 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Le double d'un angle aigu peut-il être obtus ? Donne un exemple.
~3 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Trouve deux angles complémentaires égaux entre eux.
~3 lignes
Exercice 7★★★ Difficile
\([AB]\) mesure 9 cm. Quelle est la longueur de son symétrique \([A'B']\) par rapport à un axe (d) ?
~2 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
Un triangle rectangle a un angle de 35° (en plus de l'angle droit). Calcule le troisième angle.
~3 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) Peut-on construire un triangle de côtés 6 cm, 6 cm et 13 cm ? Justifie.
~4 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Triangle ABC isocèle en A avec \(\hat{A}=36°\). Calcule \(\hat{B}\) et \(\hat{C}\).
~4 lignes
Exercice 3Contrôle
(2 pts) Cite deux quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires.
~2 lignes
Exercice 4Contrôle
(3 pts) A' est le symétrique de A par rapport à (d), avec \(AA' = 14\) cm. À quelle distance de (d) se trouve A ?
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Un angle et son supplémentaire sont égaux. Que valent-ils ?
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(4 pts) Un triangle rectangle est isocèle : l'angle droit et deux angles égaux entre eux. Calcule ces deux angles égaux.
~5 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Un rectangle (non carré) a deux axes de symétrie. Ses diagonales sont-elles aussi des axes de symétrie ? Justifie.
~4 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Triangle 3, 4, 8 cm ?
1Le plus grand côté est 8. Comparons-le à 3+4=7
28 > 7, l'inégalité triangulaire n'est pas respectée
✅ Impossible (8 > 3+4)
Ex 2 · Triangle 5, 6, 9 cm ?
1Le plus grand côté est 9. Comparons-le à 5+6=11
29 < 11, l'inégalité est respectée
✅ Possible
Ex 3 · Triangle avec deux angles de 60°
1Troisième angle = 180° − 60° − 60° = 60°
2Les 3 angles sont égaux à 60° → triangle équilatéral
✅ 60° · Triangle équilatéral
Ex 7 · Supplémentaire de 100°
1Supplémentaires : somme = 180°
2180° − 100° = 80°
✅ 80°
Ex 8 · Complémentaire de 35°
1Complémentaires : somme = 90°
290° − 35° = 55°
✅ 55°
Ex 1 · Triangle ABC, A=50°, B=60°
1Somme des angles = 180°
2C = 180° − 50° − 60° = 70°
✅ C = 70°
Ex 2 · Deux angles de 45°
1Troisième angle = 180° − 45° − 45° = 90°
2Le triangle a un angle droit et deux angles égaux : c'est un triangle rectangle isocèle
✅ 90° · Triangle rectangle isocèle
Ex 3 · A à 5 cm de l'axe (d)
1A' est de l'autre côté de (d), à la même distance : 5 cm
2La distance totale AA' = 5+5 = 10 cm
✅ A' à 5 cm de (d) · AA' = 10 cm
Ex 7 · Triangle 2, 3, 7 cm ?
1Le plus grand côté est 7. Comparons à 2+3=5
27 > 5, l'inégalité n'est pas respectée
✅ Impossible
Ex 8 · Bissectrice d'un angle de 80°
1La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux
280° ÷ 2 = 40°
✅ Chaque demi-angle mesure 40°
Ex 1 · Isocèle, sommet 40°
1Somme des angles à la base = 180° − 40° = 140°
2Ces deux angles sont égaux (triangle isocèle) : 140° ÷ 2 = 70°
✅ Les deux angles à la base valent 70°
Ex 3 · Côtés 10, 4, et 3 cm possible ?
1Le plus grand côté serait 10. Comparons à 4+3=7
210 > 7, l'inégalité n'est pas respectée
✅ Non, ce triangle est impossible
Ex 6 · Deux angles complémentaires égaux
1Si les deux angles sont égaux à x, alors x + x = 90°
22x = 90° donc x = 45°
✅ 45° et 45°
Ex 1 Contrôle · Triangle 6, 6, 13 cm ?
1Le plus grand côté est 13. Comparons à 6+6=12
213 > 12, l'inégalité n'est pas respectée
✅ Impossible
Ex 2 Contrôle · Isocèle en A, A=36°
1Somme des angles B et C = 180° − 36° = 144°
2Isocèle en A signifie B = C, donc 144° ÷ 2 = 72°
✅ B = C = 72°
Ex 4 Contrôle · AA' = 14 cm
1(d) passe par le milieu de [AA'], donc A est à mi-distance
214 ÷ 2 = 7 cm
✅ A est à 7 cm de (d)
Ex 5 Contrôle · Angle égal à son supplémentaire
1Si l'angle vaut x, alors x + x = 180°
22x = 180° donc x = 90°
✅ Les deux angles valent 90° (ce sont deux angles droits)