MathsOtop — Pack Expertes · Nombres complexes

ℂ Forme algébrique

Définitions

\(i^2 = -1\) · \(i^3 = -i\) · \(i^4 = 1\)
\(z = a + ib\) avec \(a,b \in \mathbb{R}\)
Partie réelle : Re(z) = a
Partie imaginaire : Im(z) = b
Conjugué : \(\bar{z} = a - ib\)
Module : \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)

\( z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2 \)

\( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \quad ; \quad \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2} \)

\( \dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} \quad (z \neq 0) \)

Calculer \(\frac{z_1}{z_2}\) — Multiplier par \(\bar{z_2}/\bar{z_2}\)

Multiplier numérateur et dénominateur par \(\bar{z_2}\)

Le dénominateur devient \(|z_2|^2 \in \mathbb{R}\)

Séparer parties réelle et imaginaire

Pièges

Im(z) = b, pas ib (c'est le coefficient réel)

\(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\) mais \(|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|\)

\(z = \bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\) · \(z = -\bar{z} \Leftrightarrow z\) est imaginaire pur

✏️ Exemple

\(\frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+i+i^2}{2} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)

📐 Forme trigonométrique & Formule d'Euler

Forme trigonométrique

\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) avec \(r = |z|\)
\(r\) = module, \(\theta\) = argument
arg(z) défini modulo \(2\pi\)
arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
arg(z₁/z₂) = arg(z₁) − arg(z₂)

\( z = r\,e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

\( e^{i\theta} \cdot e^{i\phi} = e^{i(\theta+\phi)} \)

\( \cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \)

Formule de De Moivre

\((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\)
Ou : \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\)
Permet de linéariser cos(nθ) et sin(nθ)

Arguments usuels à connaître

arg(1)=0 · arg(i)=π/2 · arg(-1)=π · arg(-i)=-π/2

arg(1+i)=π/4 · arg(1+i√3)=π/3

arg(√3+i)=π/6 · arg(-1+i)=3π/4

✏️ Linéarisation

\(\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\) grâce à \(e^{i\theta}\)
\(\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\) par De Moivre

🌿 Racines n-ièmes

Méthode générale

Les n racines nèmes de \(a = \rho e^{i\phi}\) sont :
\(z_k = \rho^{1/n} e^{i(\phi + 2k\pi)/n}\) pour k=0,1,...,n-1
Régulièrement espacées sur un cercle de rayon \(\rho^{1/n}\)

Racines de l'unité : \(z_k = e^{2ik\pi/n}\), k=0,...,n-1

\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0\) (somme nulle)

Racines carrées de a+ib

Poser z = x+iy et z² = a+ib
x²-y² = a et 2xy = b
Ajouter : x²+y² = |a+ib| = √(a²+b²)
Résoudre le système en x² et y²

✏️ Racines carrées de 3+4i

|3+4i|=5 · x²+y²=5 et x²-y²=3 et 2xy=4
x²=4 → x=2 · y²=1 → y=1 (signe: 2xy=4>0 → même signe)
Racines : 2+i et −2−i

🔄 Transformations géométriques

Types de transformations

Translation de vecteur \(\vec{v}\) : \(z \mapsto z + b\) (b complexe)
Homothétie de centre O, rapport k : \(z \mapsto kz\)
Rotation de centre O, angle θ : \(z \mapsto e^{i\theta} z\)
Similitude directe : \(z \mapsto az + b\) (a ≠ 0)

Rotation de centre \(\Omega\) (affixe ω), angle θ :
\(z' = e^{i\theta}(z - \omega) + \omega\)

Identifier une transformation

f(z) = az+b avec |a|=1 : rotation

f(z) = az+b avec |a|≠1, a réel positif : homothétie-translation

f(z) = az+b général : similitude directe

Point fixe : résoudre az+b = z

Pièges

\(iz\) = rotation d'angle π/2, pas de module 1 uniquement

La rotation de centre ω ≠ O n'est pas juste \(e^{i\theta}z\)

4 séries · 10 exercices · BAC Expertes

📗 Série 1 — Forme algébrique

Exercice 1★ Facile

Calculer et donner sous forme a+ib :
a) \((2+3i)(1-i)\) b) \((1+i)^2\) c) \(i^{17}\)

~4 lignes

Exercice 2★ Facile

Pour z = 3 − 4i, calculer :
a) Re(z) et Im(z) b) \(\bar{z}\) c) |z| d) \(z \cdot \bar{z}\)

~4 lignes

Exercice 3★ Facile

Calculer \(\dfrac{2+i}{1-2i}\). Vérifier que le résultat a un module égal à \(\dfrac{|2+i|}{|1-2i|}\).

~5 lignes · multiplier par conjugué

Exercice 4★★ Intermédiaire

Résoudre dans ℂ :
a) \(z^2 + 4 = 0\) b) \(z^2 - 2z + 5 = 0\) c) \(z^2 + 2iz - 1 = 0\)

~6 lignes · discriminant complexe

Exercice 5★★ Intermédiaire

Montrer que \(\dfrac{z - i}{z + i}\) est de module 1 pour tout \(z \in \mathbb{R}\) (i.e. \(z = x\), \(x \in \mathbb{R}\)).

~5 lignes

Exercice 6★★ Intermédiaire

Déterminer les racines carrées de \(z_0 = -5 + 12i\).

~6 lignes · système x²-y²=-5, 2xy=12

Exercice 7★★ Intermédiaire

Si \(P(z) = z^3 - 3z + 2\), vérifier que z=1 est racine double et factoriser P(z) dans ℂ.

~5 lignes · division euclidienne

Exercice 8★★★ Difficile

Résoudre \(z^2 - (3+i)z + (2+i) = 0\) dans ℂ. (Calculer le discriminant \(\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i)\) puis ses racines carrées.)

~7 lignes

Exercice 9★★★ Difficile

Montrer que pour tout \(z \in \mathbb{C}\) :
a) \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)\) b) \(|\text{Re}(z)| \leq |z|\) c) \(|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) + |z_2|^2\)

~7 lignes

Exercice 10★★★★ Expert

Démontrer l'inégalité triangulaire : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\) en utilisant \(|z_1+z_2|^2\) et \(\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \leq |z_1\bar{z_2}|\).

~7 lignes · démonstration

📘 Série 2 — Forme trigonométrique et De Moivre

Exercice 1★ Facile

Donner la forme exponentielle de :
a) z = 1+i b) z = -2 c) z = -i d) z = √3 + i

~4 lignes

Exercice 2★ Facile

Calculer \((1+i)^{10}\) en utilisant la forme exponentielle.

~4 lignes

Exercice 3★★ Intermédiaire

Calculer le module et l'argument de \(z = \dfrac{(1+i)^3}{(1-i\sqrt{3})^2}\).

~6 lignes · propriétés module et argument

Exercice 4★★ Intermédiaire

En utilisant \((e^{i\theta})^3 = e^{3i\theta}\), développer \((\cos\theta + i\sin\theta)^3\) et en déduire :
a) \(\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\) b) \(\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta\)

~6 lignes

Exercice 5★★ Intermédiaire

Linéariser \(\cos^4\theta\) (exprimer en fonction de cos(2θ) et cos(4θ)).

~6 lignes · \(\cos\theta = (e^{i\theta}+e^{-i\theta})/2\)

Exercice 6★★ Intermédiaire

Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) = 0\) pour tout \(\theta\).

~5 lignes · partie réelle de la somme des racines

Exercice 7★★★ Difficile

Calculer \(S = \sum_{k=0}^{n-1} r^k e^{ik\theta}\) (série géométrique complexe). En déduire \(\sum_{k=0}^{n-1}\cos(k\theta)\).

~7 lignes

Exercice 8★★★ Difficile

Calculer \(\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)\) en résolvant z⁵ = 1 et en identifiant les parties réelles des racines.

~7 lignes

Exercice 9★★★ Difficile

Démontrer la formule de De Moivre par récurrence sur \(n \geq 0\).

~6 lignes · initialisation + hérédité

Exercice 10★★★★ Expert

En développant \((1+i)^{2n}\) de deux façons (binôme de Newton et forme exponentielle), montrer que \(\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n}{2k} = (-4)^n \cdot \frac{1}{2}\) et calculer \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{2n}{2k}\).

~8 lignes

📙 Série 3 — Racines n-ièmes, équations et géométrie

Exercice 1★ Facile

Calculer les 4 racines 4e de l'unité et les placer dans le plan complexe.

~4 lignes

Exercice 2★ Facile

Résoudre \(z^3 = 8\) dans ℂ. Donner les racines sous forme exponentielle et algébrique.

~5 lignes

Exercice 3★★ Intermédiaire

Résoudre \(z^4 + 4 = 0\). (Écrire −4 sous forme exponentielle.)

~6 lignes

Exercice 4★★ Intermédiaire

Soit ω = e^{2iπ/3} une racine cubique de l'unité. Calculer 1 + ω + ω² et 1 + ω² + ω⁴.

~4 lignes · somme racines de l'unité

Exercice 5★★ Intermédiaire

Montrer que le triangle formé par les 3 racines cubiques de l'unité est équilatéral.

~5 lignes · distances entre les affixes

Exercice 6★★ Intermédiaire

La transformation \(f(z) = (1+i)z - i\) est-elle une rotation, une homothétie ou une similitude ? Trouver son point fixe.

~5 lignes · point fixe : az+b=z

Exercice 7★★★ Difficile

Résoudre \(z^6 - z^3 - 2 = 0\). (Poser w = z³.)

~6 lignes

Exercice 8★★★ Difficile

ABCD est un carré de centre O d'affixes a, b, c, d. Montrer que b = ia + (1-i)o en supposant que la rotation de 90° de centre O transforme A en B.

~5 lignes · rotation de centre o

Exercice 9★★★ Difficile

Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0\) en utilisant la somme d'une suite géométrique.

~5 lignes

Exercice 10★★★★ Expert

Résoudre \(z^5 = \bar{z}\) dans ℂ. (Étudier séparément z=0, puis écrire z=re^{iθ} et z⁶=|z|².)

~8 lignes

📕 Série 4 — Sujets type BAC Expertes

Exercice 1 — BACNiveau BAC Expertes

(6 pts) Soit \(z_0 = 1 + i\sqrt{3}\).
1. Écrire z₀ sous forme exponentielle. (1 pt)
2. Calculer \(z_0^6\) et \(z_0^{12}\). (2 pts)
3. En déduire les valeurs exactes de \(\cos(6\theta)\) où \(\theta = \pi/3\). (1 pt)
4. Résoudre \(z^3 = z_0\) dans ℂ. (2 pts)

~10 lignes

Exercice 2 — BACNiveau BAC Expertes

(5 pts) Dans le plan complexe, A d'affixe a=2, B d'affixe b=2i.
1. Calculer |a-b| (distance AB). (1 pt)
2. La rotation de centre O d'angle π/2 transforme-t-elle A en B ? (2 pts)
3. Trouver l'affixe du point C tel que OAC soit équilatéral. (2 pts)

~9 lignes

Exercice 3 — BACNiveau BAC Expertes

(5 pts) Résoudre dans ℂ : \(z^4 - 2\sqrt{2}\,z^2 + 4 = 0\).
1. Poser w = z² et résoudre en w. (2 pts)
2. Résoudre chaque équation z² = w₀. (3 pts)

~9 lignes

Exercice 4 — BACNiveau BAC Expertes

(5 pts) En développant \((\cos\theta + i\sin\theta)^5\) par De Moivre et par le binôme de Newton, exprimer \(\cos(5\theta)\) et \(\sin(5\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

~10 lignes

Exercice 5 — BACNiveau BAC Expertes

(4 pts) Soit f : z ↦ \(\dfrac{(1+i)z + 2}{z + (1-i)}\).
1. Trouver les points fixes de f. (2 pts)
2. Montrer que f est une homographie (transformation de Möbius). (2 pts)

~9 lignes

Exercice 6Niveau BAC Expertes

(4 pts) ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec A=1.
1. Donner les affixes des 5 sommets. (2 pts)
2. Calculer la longueur d'un côté. (1 pt)
3. Calculer cos(2π/5) en utilisant la factorisation de z⁵-1. (1 pt)

~9 lignes

Exercice 7Niveau BAC Expertes

(3 pts) Le plan complexe. A d'affixe 1, B d'affixe i. La similitude directe f transforme A en B et a pour rapport √2. Trouver l'angle et le centre de f.

~7 lignes

Exercice 8★★★★ Expert

(6 pts) Calculer la somme \(S = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \sin(k\theta)\) en considérant la partie imaginaire de \((1+e^{i\theta})^n\).

~9 lignes

Exercice 9★★★★ Expert

(5 pts) Montrer que les racines de \(z^n = 1\) forment un groupe pour la multiplication. Calculer le produit de toutes les racines.

~8 lignes

Exercice 10 — Synthèse★★★★

(7 pts) Construction à la règle et au compas :
1. Montrer que le point \(z = e^{2i\pi/5}\) vérifie \(z^4+z^3+z^2+z+1=0\). (1 pt)
2. En posant w = z+1/z, montrer que w²+w-1=0. (2 pts)
3. En déduire la valeur exacte de \(\cos(2\pi/5)\). (2 pts)
4. Construire géométriquement le pentagone régulier. (2 pts)

~12 lignes

Correction complète

Ex 1 · Calculs en forme algébrique

a(2+3i)(1-i) = 2-2i+3i-3i² = 2+i+3 = 5+i

b(1+i)² = 1+2i+i² = 1+2i-1 = 2i

ci¹⁷ = i^(4×4+1) = (i⁴)⁴·i = 1·i = i

5+i · 2i · i

Ex 3 · \(\frac{2+i}{1-2i}\)

1Multiplier par le conjugué : \(\frac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{2+4i+i+2i^2}{1+4} = \frac{2+5i-2}{5} = \frac{5i}{5} = i\)

2Vérif. module : |2+i|/|1-2i| = √5/√5 = 1 = |i| ✓

2+i)/(1-2i) = i

Ex 6 · Racines carrées de -5+12i

1Poser z=x+iy : x²-y²=-5 et 2xy=12 → xy=6

2x²+y² = |-5+12i| = √(25+144) = 13 · Donc x²=4, y²=9

32xy=12 > 0 → même signe : (x,y)=(2,3) ou (-2,-3)

Racines : 2+3i et -2-3i

Ex 1 · Forme exponentielle

a1+i : |1+i|=√2, arg=π/4 → z = √2 e^(iπ/4)

b-2 : |-2|=2, arg=π → z = 2e^(iπ)

c-i : |-i|=1, arg=-π/2 → z = e^(-iπ/2)

d√3+i : r=2, arg=π/6 → z = 2e^(iπ/6)

√2·e^(iπ/4) · 2e^(iπ) · e^(-iπ/2) · 2e^(iπ/6)

Ex 4 · De Moivre : cos(3θ) et sin(3θ)

1(\(\cos\theta+i\sin\theta\))³ = \(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\) (De Moivre)

2Développement : c³+3c²(is)+3c(is)²+(is)³ = (c³-3cs²)+i(3c²s-s³) avec c=cosθ, s=sinθ

3Partie réelle : cos(3θ) = c³-3cs² = c³-3c(1-c²) = 4c³-3c ✓

4Partie imag. : sin(3θ) = 3c²s-s³ = 3(1-s²)s-s³ = 3s-4s³ ✓

cos(3θ)=4cos³θ-3cosθ · sin(3θ)=3sinθ-4sin³θ

Ex 2 · z³ = 8 dans ℂ

18 = 8e^(i·0). Les 3 racines : z_k = 2e^(2ikπ/3) pour k=0,1,2

2z₀ = 2 · z₁ = 2e^(2iπ/3) = 2(-1/2+i√3/2) = -1+i√3 · z₂ = -1-i√3

z₀=2 · z₁=-1+i√3 · z₂=-1-i√3

Ex 4 · 1+ω+ω² où ω=e^(2iπ/3)

1Somme des 3 racines cubiques de 1 = 0 (somme des racines nèmes) → 1+ω+ω²=0

21+ω²+ω⁴ = 1+ω²+ω (car ω³=1 → ω⁴=ω) = 0 également

1+ω+ω² = 0 · 1+ω²+ω⁴ = 0

Ex 1 BAC · z₀=1+i√3, forme exp, puissances, racines

1|z₀|=2, arg(z₀)=π/3 → z₀ = 2e^(iπ/3)

2z₀⁶ = 2⁶e^(i6π/3) = 64e^(2iπ) = 64 · z₀¹² = 64²=4096

3z₀⁶=64 ∈ ℝ > 0 donc cos(2π)=1 — cohérent

4z³=z₀=2e^(iπ/3) : z_k = 2^(1/3)e^(i(π/3+2kπ)/3) = 2^(1/3)e^(i(π+6kπ)/9) pour k=0,1,2

z₀=2e^(iπ/3) · z₀⁶=64 · 3 racines : 2^(1/3)e^(iπ/9), 2^(1/3)e^(i7π/9), 2^(1/3)e^(i13π/9)

Ex 4 BAC · De Moivre et cos(5θ)

1De Moivre : (cosθ+isinθ)⁵ = cos(5θ)+isin(5θ)

2Binôme : Σ C(5,k)(cosθ)^(5-k)(isinθ)^k pour k=0..5

3Partie réelle : cos(5θ) = c⁵-10c³s²+5cs⁴ = 16c⁵-20c³+5c

4Partie imag. : sin(5θ) = 5c⁴s-10c²s³+s⁵ = 16s⁵-20s³+5s

cos(5θ)=16cos⁵θ-20cos³θ+5cosθ · sin(5θ)=16sin⁵θ-20sin³θ+5sinθ

Nombres complexes

ℂ Forme algébrique

Définitions

Calculer \(\frac{z_1}{z_2}\) — Multiplier par \(\bar{z_2}/\bar{z_2}\)

Pièges

✏️ Exemple

📐 Forme trigonométrique & Formule d'Euler

Forme trigonométrique

Formule de De Moivre

Arguments usuels à connaître

✏️ Linéarisation

🌿 Racines n-ièmes

Méthode générale

Racines carrées de a+ib

✏️ Racines carrées de 3+4i

🔄 Transformations géométriques

Types de transformations

Identifier une transformation

Pièges

📐 Visualisation interactive