P(A|B) Probabilités conditionnelles
Ce qu'il faut savoir
- Probabilité conditionnelle : \(P(A|B)\)
- Arbre pondéré : produit le long des branches
- Formule des probabilités totales
- Indépendance de deux événements
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Utiliser un arbre pondéré
- Identifier les partitions (premières branches)
- Vérifier que les probabilités sur chaque nœud somment à 1
- Probabilité d'un chemin = produit des branches
- Probabilité totale = somme des chemins favorables
Vérifier l'indépendance
- Calculer \(P(A\cap B)\)
- Calculer \(P(A)\times P(B)\)
- Si égaux → indépendants
Pièges fréquents
- \(P(A|B) \neq P(B|A)\) en général
- Bien identifier quel événement est "sachant" (conditionne)
✏️ Exemple type
\(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}3\), \(P(A\cap B)=0{,}1\) : \(P(A|B)=\dfrac{0{,}1}{0{,}3}=\dfrac{1}{3}\)
X̄ Variables aléatoires réelles
Ce qu'il faut savoir
- Loi de probabilité (tableau \(x_i\), \(P(X=x_i)\))
- Espérance \(E(X)\)
- Variance et écart-type
- Loi binomiale \(B(n,p)\)
\(E(X)=\sum x_iP(X=x_i)\) · \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)
Binomiale : \(E(X)=np\) · \(V(X)=np(1-p)\)
Calculer espérance et variance
- Dresser le tableau de loi \((x_i, P(X=x_i))\)
- \(E(X)\) = somme de \(x_i \times P(X=x_i)\)
- \(E(X^2)\) = somme de \(x_i^2 \times P(X=x_i)\)
- \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\), puis \(\sigma=\sqrt{V(X)}\)
Pièges fréquents
- Toujours vérifier que \(\sum P(X=x_i)=1\)
- \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\), pas \(E(X^2-X^2)\)
✏️ Exemple type
X : 1 (p=0,5), 3 (p=0,5). \(E(X)=2\), \(E(X^2)=5\), \(V(X)=5-4=1\), \(\sigma=1\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
\(P(A)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}4\). Calcule \(P(A|B)\).
~2 lignes
Exercice 2★ Facile
\(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}3\), \(P(A\cap B)=0{,}18\). A et B sont-ils indépendants ?
~3 lignes
Exercice 3★ Facile
X prend 1 (p=0,2), 2 (p=0,5), 3 (p=0,3). Vérifie que c'est bien une loi de probabilité.
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
X : 0 (p=0,4), 1 (p=0,6). Calcule \(E(X)\).
~2 lignes
Exercice 5★ Facile
Une urne a 3 boules rouges et 2 boules bleues. Calcule \(P(\text{rouge})\).
~1 ligne
Exercice 6★ Facile
\(P(A)=0{,}7\). Calcule \(P(\overline{A})\).
~1 ligne
Exercice 7★★ Intermédiaire
Sur un arbre, \(P(B_1)=0{,}5\), \(P(A|B_1)=0{,}3\). Calcule \(P(A\cap B_1)\).
~2 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
X : 2 (p=0,5), 4 (p=0,5). Calcule \(E(X)\).
~2 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
\(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}15\). Calcule \(P(A|B)\) et \(P(B|A)\).
~4 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
On choisit au hasard entre l'urne A (3R,2B) et l'urne B (1R,4B), puis on tire une boule. Calcule \(P(\text{rouge})\).
~4 lignes · probabilités totales
Exercice 3★★ Intermédiaire
X : 0 (p=0,3), 1 (p=0,4), 2 (p=0,3). Calcule \(E(X)\).
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Avec la même loi qu'à l'exercice 3, calcule \(V(X)\).
~4 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
\(X \sim B(5;0{,}4)\). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
~3 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
\(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\), A et B indépendants. Calcule \(P(A\cap B)\).
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
On lance deux dés. Calcule \(P(\text{somme}=7)\).
~3 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Machine 1 : 55% des pièces, 4% défectueuses. Machine 2 : 45%, 3% défectueuses. Calcule \(P(\text{défectueuse})\).
~5 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Avec l'exercice précédent, calcule \(P(\text{Machine 1}|\text{défectueuse})\).
~4 lignes · Bayes
Exercice 3★★★ Difficile
X : −1 (p=0,3), 0 (p=0,4), 2 (p=0,3). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
~6 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
\(X \sim B(8;0{,}25)\). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
~3 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
\(P(A)=0{,}5\), \(P(B|A)=0{,}4\), \(P(B|\overline{A})=0{,}2\). Calcule \(P(B)\).
~4 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Urne de 10 boules (4 rouges, 6 bleues). Tirage sans remise de 2 boules. Calcule \(P(\text{2 rouges})\).
~4 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
X : 5 (p=0,2), 10 (p=0,5), 15 (p=0,3). Calcule \(\sigma(X)\).
~6 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
A et B indépendants, \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}5\). Calcule \(P(A\cup B)\).
~3 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) \(P(A)=0{,}6\), \(P(A\cap B)=0{,}24\), \(P(B)=0{,}4\). Calcule \(P(A|B)\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) X : 0 (p=0,5), 2 (p=0,3), 4 (p=0,2). Calcule \(E(X)\).
~3 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Avec la même loi qu'à l'exercice 2, calcule \(V(X)\).
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Urne 1 : 60% des tirages, 3% de défauts. Urne 2 : 40%, 5% de défauts. Calcule \(P(\text{défaut})\).
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) \(X \sim B(6;0{,}5)\). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), A et B indépendants. Calcule \(P(A\cap B)\) et \(P(A\cup B)\).
~5 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Arbre : \(P(B_1)=0{,}3\), \(P(A|B_1)=0{,}6\), \(P(B_2)=0{,}7\), \(P(A|B_2)=0{,}2\). Calcule \(P(A)\).
~5 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · P(A|B) avec P(A∩B)=0,2, P(B)=0,4
1\(P(A|B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}\)
✅ P(A|B) = 0,5
Ex 2 · Indépendance
1\(P(A)\times P(B)=0{,}6\times0{,}3=0{,}18=P(A\cap B)\)
✅ Oui, ils sont indépendants
Ex 4 · E(X), X:0(0,4),1(0,6)
1\(0\times0{,}4+1\times0{,}6\)
✅ E(X) = 0,6
Ex 7 · P(A∩B1) avec arbre
1\(0{,}5\times0{,}3\)
✅ P(A∩B₁) = 0,15
Ex 1 · P(A|B) et P(B|A)
1\(P(A|B)=0{,}15÷0{,}5=0{,}3\)
2\(P(B|A)=0{,}15÷0{,}4=0{,}375\)
✅ P(A|B)=0,3 · P(B|A)=0,375
Ex 2 · Probabilités totales, urnes A et B
1\(P(\text{rouge})=0{,}5\times\dfrac{3}{5}+0{,}5\times\dfrac{1}{5}\)
✅ P(rouge) = 0,4
Ex 3 · E(X), X:0(0,3),1(0,4),2(0,3)
1\(0\times0{,}3+1\times0{,}4+2\times0{,}3\)
✅ E(X) = 1
Ex 5 · X~B(5;0,4)
1\(E(X)=np=5\times0{,}4\), \(V(X)=np(1-p)=5\times0{,}4\times0{,}6\)
✅ E(X)=2, V(X)=1,2
Ex 1 · Probabilités totales, machines
1\(P(\text{défect})=0{,}55\times0{,}04+0{,}45\times0{,}03\)
✅ P = 0,0355 (3,55%)
Ex 2 · Bayes, P(M1|défectueuse)
1\(P(M_1|D)=\dfrac{0{,}55\times0{,}04}{0{,}0355}=\dfrac{0{,}022}{0{,}0355}\)
✅ ≈ 62%
Ex 3 · E(X) et V(X), X:-1(0,3),0(0,4),2(0,3)
1\(E(X)=-0{,}3+0+0{,}6=0{,}3\)
2\(E(X^2)=0{,}3+0+1{,}2=1{,}5\), \(V(X)=1{,}5-0{,}09\)
✅ E(X)=0,3, V(X)=1,41
Ex 5 · Probabilités totales
1\(P(B)=0{,}5\times0{,}4+0{,}5\times0{,}2\)
✅ P(B) = 0,3
Ex 1 Contrôle · P(A|B)
1\(P(A|B)=0{,}24÷0{,}4\)
✅ P(A|B) = 0,6
Ex 2 Contrôle · E(X), X:0(0,5),2(0,3),4(0,2)
1\(0+0{,}6+0{,}8\)
✅ E(X) = 1,4
Ex 3 Contrôle · V(X), même loi
1\(E(X^2)=0+1{,}2+3{,}2=4{,}4\)
2\(V(X)=4{,}4-1{,}96\)
✅ V(X) = 2,44
Ex 6 Contrôle · Indépendance
1\(P(A\cap B)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2\)
2\(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2\)
✅ P(A∩B)=0,2 · P(A∪B)=0,7