u·v Produit scalaire
Ce qu'il faut savoir
- Expression analytique du produit scalaire
- Expression avec cosinus de l'angle
- Orthogonalité : PS=0
- Formule d'Al-Kashi
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2=\|u\|\|v\|\cos\theta\)
Al-Kashi : \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC}\)
Calculer un angle avec le produit scalaire
- Calculer PS \(=x_1x_2+y_1y_2\)
- Calculer les normes \(\|u\|\) et \(\|v\|\)
- \(\cos\theta=\dfrac{PS}{\|u\|\|v\|}\)
- \(\theta=\arccos(...)\)
Vérifier l'orthogonalité
- Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2\)
- Si le résultat est 0 → vecteurs orthogonaux
Pièges fréquents
- Le produit scalaire est un RÉEL, pas un vecteur
- Dans Al-Kashi, BC² est le côté opposé à l'angle A
✏️ Exemple type
\(u(2;3)\), \(v(3;-2)\) : PS \(=6-6=0\) → orthogonaux
⊙ Géométrie repérée
Ce qu'il faut savoir
- Équation cartésienne de droite \(ax+by+c=0\)
- Équation de cercle \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
- Distance point-droite
- Position droite/cercle
\(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Étudier la position droite/cercle
- Calculer la distance d du centre à la droite
- Comparer d et r (le rayon)
- \(d
Trouver la tangente en un point A du cercle
- Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\) (Ω = centre)
- C'est le vecteur normal à la tangente
- Écrire l'équation avec ce vecteur normal
Pièges fréquents
- L'équation du cercle utilise \(r^2\), pas \(r\)
- Toujours mettre une valeur absolue dans la formule de distance
✏️ Exemple type
Tangente à \(x^2+y^2=25\) en A(3;4) : normal = \(\overrightarrow{OA}=(3;4)\), équation \(3x+4y=25\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
\(\vec{u}(2;3)\), \(\vec{v}(4;1)\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
~2 lignes
Exercice 2★ Facile
\(\vec{u}(1;5)\), \(\vec{v}(-2;3)\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
~2 lignes
Exercice 3★ Facile
\(\vec{u}(3;4)\). Calcule \(\|u\|\).
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
\(\vec{u}(2;0)\), \(\vec{v}(0;5)\). Sont-ils orthogonaux ?
~3 lignes
Exercice 5★ Facile
Donne l'équation du cercle de centre (2;−1) et de rayon 3.
~2 lignes
Exercice 6★ Facile
Donne l'équation du cercle de centre (0;0) et de rayon 5.
~1 ligne
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(\vec{u}(3;-2)\), \(\vec{v}(4;6)\). Sont-ils orthogonaux ?
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Donne le centre et le rayon du cercle \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).
~2 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
\(\vec{u}(1;2)\), \(\vec{v}(3;-1)\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|u\|\) et \(\|v\|\).
~4 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Al-Kashi : \(AB=6\), \(AC=8\), \(BC=10\). Calcule \(\cos A\).
~4 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Distance de A(1;2) à la droite \(3x+4y-5=0\).
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
\(\vec{u}(2;5)\), \(\vec{v}(k;4)\). Trouve \(k\) pour que \(u\) et \(v\) soient orthogonaux.
~3 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Cercle de centre (1;1) et de rayon 2. Le point (3;1) est-il sur le cercle ?
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Tangente à \(x^2+y^2=25\) en A(0;5).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Étudie la position de la droite \(x+y=5\) par rapport au cercle centré en O de rayon 3.
~4 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Al-Kashi : \(AB=5\), \(AC=7\), \(BC=6\). Calcule \(\cos A\).
~4 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Trouve l'angle entre \(\vec{u}(1;\sqrt{3})\) et \(\vec{v}(2;0)\).
~5 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Distance de A(0;0) à la droite \(x-y+4=0\).
~3 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Trouve l'intersection de la droite \(y=x+1\) et du cercle \(x^2+y^2=4\).
~5 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Tangente à \(x^2+y^2=16\) en A(0;4).
~3 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
\(\vec{u}(3;1)\), \(\vec{v}(-1;3)\). Sont-ils orthogonaux ?
~3 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Trouve l'équation du cercle de centre O passant par A(3;0).
~3 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
Al-Kashi : \(AB=4\), \(AC=5\), angle \(\hat{A}=60°\). Trouve \(BC\).
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) \(\vec{u}(3;5)\), \(\vec{v}(2;-1)\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Calcule \(\|u\|\) pour \(\vec{u}(6;8)\).
~2 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Distance de A(2;−3) à la droite \(3x-4y+1=0\).
~4 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Al-Kashi : \(AB=8\), \(AC=10\), \(BC=12\). Calcule \(\cos A\).
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) \(\vec{u}(4;k)\), \(\vec{v}(3;-2)\). Trouve \(k\) pour l'orthogonalité.
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) Cercle de centre (2;3) et de rayon 5. Étudie sa position par rapport à la droite \(x+y=0\).
~6 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Tangente à \(x^2+y^2=9\) en A(0;3).
~3 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · u(2;3)·v(4;1)
1\(2\times4+3\times1=8+3\)
✅ 11
Ex 3 · Norme de u(3;4)
1\(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\)
✅ 5
Ex 5 · Cercle centre (2;−1), rayon 3
1\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
✅ \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)
Ex 7 · u(3;-2), v(4;6), orthogonaux ?
1\(3\times4+(-2)\times6=12-12\)
✅ PS = 0, orthogonaux
Ex 1 · u(1;2), v(3;-1)
1PS \(=1\times3+2\times(-1)=1\)
2\(\|u\|=\sqrt{5}\), \(\|v\|=\sqrt{10}\)
✅ PS = 1, ‖u‖=√5, ‖v‖=√10
Ex 2 · Al-Kashi AB=6,AC=8,BC=10
1\(\cos A=\dfrac{36+64-100}{2\times6\times8}=\dfrac{0}{96}\)
✅ cos A = 0 (A = 90°, triangle rectangle en A)
Ex 3 · Distance A(1;2) à 3x+4y-5=0
1\(d=\dfrac{|3\times1+4\times2-5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{|3+8-5|}{5}\)
✅ d = 6/5 = 1,2
Ex 4 · u(2;5),v(k;4), orthogonalité
1\(2k+20=0\)
✅ k = −10
Ex 1 · Al-Kashi AB=5,AC=7,BC=6
1\(\cos A=\dfrac{25+49-36}{2\times5\times7}=\dfrac{38}{70}\)
✅ cos A = 19/35
Ex 2 · Angle entre u(1,√3) et v(2,0)
1PS=2, \(\|u\|=2\), \(\|v\|=2\)
2\(\cos\theta=\dfrac{2}{4}=0{,}5\)
✅ θ = π/3
Ex 4 · Intersection y=x+1 et x²+y²=4
1\(x^2+(x+1)^2=4 \Rightarrow 2x^2+2x-3=0\)
2\(\Delta=4+24=28>0\)
✅ 2 points d'intersection (Δ>0)
Ex 6 · u(3;1), v(-1;3), orthogonaux ?
1\(3\times(-1)+1\times3=-3+3\)
✅ PS = 0, orthogonaux
Ex 1 Contrôle · u(3;5)·v(2;-1)
1\(3\times2+5\times(-1)=6-5\)
✅ PS = 1
Ex 3 Contrôle · Distance A(2;-3) à 3x-4y+1=0
1\(d=\dfrac{|3\times2-4\times(-3)+1|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{|6+12+1|}{5}\)
✅ d = 19/5 = 3,8
Ex 4 Contrôle · Al-Kashi AB=8,AC=10,BC=12
1\(\cos A=\dfrac{64+100-144}{2\times8\times10}=\dfrac{20}{160}\)
✅ cos A = 1/8 = 0,125
Ex 6 Contrôle · Position droite/cercle
1\(d=\dfrac{|2+3|}{\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\approx3{,}54\)
2Comparer à r=5 : d<r
✅ La droite est sécante au cercle