Σ Suites numériques
Ce qu'il faut savoir
- Suite arithmétique : raison r additive
- Suite géométrique : raison q multiplicative
- Démonstration par récurrence
- Comportement en +∞
Arithmétique : \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\)
Géométrique : \(u_n=u_0\times q^n\) · \(S_n=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Identifier une suite
- Calculer \(u_1-u_0\) et \(u_2-u_1\) : si égaux → arithmétique
- Sinon, calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\) et \(\dfrac{u_2}{u_1}\) : si égaux → géométrique
- Appliquer la formule du terme général
Démontrer par récurrence
- Initialisation : vérifier au rang 0 (ou 1)
- Hérédité : supposer P(n) vraie, montrer P(n+1)
- Conclusion : P(n) vraie pour tout n
Pièges fréquents
- \(u_n=u_0 q^n\), pas \(u_0 q^{n+1}\)
- Bien distinguer raison (arithmétique, additive) et quotient (géométrique, multiplicatif)
✏️ Exemple type
\(u_0=3, u_1=6, u_2=12\) : quotients constants = 2 → géométrique, \(u_n=3\times2^n\)
ax² Le trinôme du second degré
Ce qu'il faut savoir
- Discriminant \(\Delta=b^2-4ac\)
- Forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\)
- Signe du trinôme
- Formules de Viète
\(\alpha=\dfrac{-b}{2a}\), \(\beta=f(\alpha)\)
Étudier le signe du trinôme
- Si \(\Delta>0\) : f a le signe de a hors des racines, signe de −a entre elles
- Si \(\Delta\leq0\) : f a le signe de a partout
- Dresser le tableau de signe
Pièges fréquents
- Entre les racines, le signe est celui de −a, pas de a
- Toujours vérifier le signe de a avant de conclure sur le signe du trinôme
✏️ Exemple type
\(2x^2-4x-6\) : \(\Delta=64\), \(x_1=3\), \(x_2=-1\), \(\alpha=1\), \(\beta=-8\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Suite arithmétique, \(u_0=3\), \(r=5\). Calcule \(u_1\) et \(u_2\).
~2 lignes
Exercice 2★ Facile
Suite géométrique, \(u_0=2\), \(q=3\). Calcule \(u_1\) et \(u_2\).
~2 lignes
Exercice 3★ Facile
Suite arithmétique, \(u_0=4\), \(r=-2\). Calcule \(u_5\).
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
Suite géométrique, \(u_0=1\), \(q=2\). Calcule \(u_4\).
~2 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Calcule le discriminant de \(x^2-7x+10=0\).
~2 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Résous \(x^2-7x+10=0\).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(u_0=5\), \(u_1=8\), \(u_2=11\). Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
\(u_0=2\), \(u_1=6\), \(u_2=18\). Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?
~3 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
\(u_0=4\), \(r=3\). Calcule \(S=u_0+u_1+\ldots+u_5\).
~5 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
\(u_0=2\), \(q=3\). Calcule \(u_6\).
~3 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Résous \(2x^2-3x-2=0\).
~4 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Trouve la forme canonique de \(f(x)=x^2-6x+5\).
~4 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Étudie le signe de \(f(x)=x^2-6x+5\) (racines 1 et 5).
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Sans résoudre, donne la somme et le produit des racines de \(x^2-8x+15=0\) (Viète).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Une suite vérifie \(u_{n+1}=3u_n-2\), \(u_0=2\). Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
~4 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
\(u_0=5\), \(r=-3\). Trouve \(n\) tel que \(u_n=-40\).
~4 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
\(u_0=3\), \(q=2\). Trouve \(n\) tel que \(u_n=192\).
~4 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Résous \(-x^2+5x-6=0\).
~5 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Trouve la forme canonique de \(f(x)=2x^2-8x+3\).
~4 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Démontre par récurrence que \(u_n=2^n-1\) sachant \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=2u_n+1\).
~6 lignes · initialisation + hérédité
Exercice 6★★★ Difficile
Suite arithmétique : \(u_3=17\), \(u_7=33\). Trouve \(r\) et \(u_0\).
~5 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Étudie le signe de \(f(x)=-x^2+2x+3\).
~4 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
\(u_0=1\), \(q=\dfrac{1}{2}\). Calcule la somme des 10 premiers termes.
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) \(u_0=6\), \(r=4\). Calcule \(u_8\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) \(u_0=3\), \(q=-2\). Calcule \(u_5\).
~3 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Résous \(3x^2-5x+2=0\).
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Trouve la forme canonique de \(f(x)=x^2+4x-1\).
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Suite arithmétique : \(u_2=10\), \(u_5=19\). Trouve \(r\).
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) Étudie complètement le signe de \(f(x)=x^2-x-6\) (racines, tableau de signe).
~6 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Démontre par récurrence que pour tout \(n\), \(2^n \geq n+1\).
~6 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Arithmétique, u0=3, r=5
1\(u_1=3+5\), \(u_2=8+5\)
✅ u₁ = 8, u₂ = 13
Ex 5 · Discriminant de x²-7x+10=0
1\(\Delta=(-7)^2-4\times1\times10=49-40\)
✅ Δ = 9
Ex 6 · Résoudre x²-7x+10=0
1\(x=\dfrac{7\pm3}{2}\)
✅ x = 5 ou x = 2
Ex 8 · 2, 6, 18 : arithmétique ou géométrique ?
1\(\dfrac{6}{2}=3\), \(\dfrac{18}{6}=3\), rapport constant
✅ Géométrique, q = 3
Ex 1 · S = u0+...+u5, u0=4, r=3
1\(u_5=4+5\times3=19\)
2\(S=\dfrac{6\times(4+19)}{2}\)
✅ S = 69
Ex 3 · Résoudre 2x²-3x-2=0
1\(\Delta=9+16=25\)
2\(x=\dfrac{3\pm5}{4}\)
✅ x = 2 ou x = −0,5
Ex 4 · Forme canonique de x²-6x+5
1\(\alpha=6÷2=3\), \(f(3)=9-18+5=-4\)
✅ f(x) = (x−3)² − 4
Ex 6 · Viète pour x²-8x+15=0
1Somme \(=-\dfrac{b}{a}=8\), produit \(=\dfrac{c}{a}=15\)
✅ Somme = 8, produit = 15
Ex 1 · u0=5, r=-3, trouve n tel que un=-40
1\(5-3n=-40\) → \(-3n=-45\)
✅ n = 15
Ex 3 · Résoudre -x²+5x-6=0
1Multiplier par −1 : \(x^2-5x+6=0\)
2\(\Delta=25-24=1\), \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\)
✅ x = 3 ou x = 2
Ex 5 · Récurrence uₙ=2ⁿ−1
1Initialisation : \(u_0=0=2^0-1\) ✓
2Hérédité : \(u_{n+1}=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1\) ✓
✅ La propriété est vraie pour tout n
Ex 6 · u3=17, u7=33, trouve r et u0
1\(u_7-u_3=4r=33-17=16\) → \(r=4\)
2\(u_0=u_3-3r=17-12\)
✅ r = 4, u₀ = 5
Ex 1 Contrôle · u0=6, r=4, calcule u8
1\(u_8=6+8\times4\)
✅ u₈ = 38
Ex 3 Contrôle · Résoudre 3x²-5x+2=0
1\(\Delta=25-24=1\)
2\(x=\dfrac{5\pm1}{6}\)
✅ x = 1 ou x = 2/3
Ex 4 Contrôle · Forme canonique de x²+4x-1
1\(\alpha=-4÷2=-2\), \(f(-2)=4-8-1=-5\)
✅ f(x) = (x+2)² − 5
Ex 6 Contrôle · Signe de x²-x-6
1\(\Delta=1+24=25\), \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\) → racines 3 et −2
2a=1>0 : positif hors [−2;3], négatif sur ]−2;3[
✅ f(x)>0 hors [−2;3], f(x)<0 sur ]−2;3[