→ Vecteurs et repère
Ce qu'il faut savoir
- Coordonnées d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
- Norme (longueur) d'un vecteur
- Colinéarité et alignement
- Milieu et centre de gravité
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\)
\(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)
Vérifier la colinéarité
- Écrire les coordonnées des deux vecteurs \(\vec{u}(a;b)\) et \(\vec{v}(c;d)\)
- Calculer le déterminant : \(ad-bc\)
- Si le résultat est 0 → colinéaires
- Si A, B, C alignés → \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
Prouver un parallélogramme
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\)
- Si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) → ABCD est un parallélogramme
Pièges fréquents
- \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\) : ce sont des vecteurs opposés
- Colinéaire ne veut pas dire égal, juste "même direction"
✏️ Exemple type
A(2;−1), B(5;3) : \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\), \(AB=\sqrt{9+16}=5\)
y=mx Droites et systèmes
Ce qu'il faut savoir
- Équation réduite \(y=mx+p\)
- Pente (coefficient directeur)
- Droites parallèles / perpendiculaires
- Résolution de systèmes linéaires
\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
Perpendiculaires : \(m_1 \times m_2=-1\)
Trouver l'équation d'une droite (A, B connus)
- Calculer la pente \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
- Écrire \(y=mx+p\)
- Substituer les coordonnées de A pour trouver p
Résoudre un système par addition
- Multiplier une ou les deux équations pour faire apparaître des coefficients opposés
- Additionner pour éliminer une variable
- Résoudre, puis substituer pour trouver l'autre variable
Pièges fréquents
- Deux droites parallèles ont la même pente m, mais des p différents
- Une droite verticale \(x=a\) n'a pas d'équation \(y=mx+p\)
✏️ Exemple type
Droite par A(1;3) et B(4;9) : \(m=\dfrac{9-3}{4-1}=2\), puis \(3=2\times1+p \Rightarrow p=1\). Droite : \(y=2x+1\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
A(1;2), B(4;6). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
~2 lignes
Exercice 2★ Facile
A(0;0), B(3;4). Calcule la norme \(AB\).
~3 lignes
Exercice 3★ Facile
Calcule le milieu de \([AB]\) avec A(1;3) et B(5;7).
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
Quelle est la pente de la droite d'équation \(y=2x+3\) ?
~1 ligne
Exercice 5★ Facile
Calcule la pente de la droite passant par A(0;1) et B(2;5).
~2 lignes
Exercice 6★ Facile
Deux droites ont pour pentes 3 et 3. Sont-elles parallèles ?
~1 ligne
Exercice 7★★ Intermédiaire
Résous le système : \(\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}\)
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
\(\vec{u}(2;3)\) et \(\vec{v}(4;6)\). Sont-ils colinéaires ?
~3 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
A(1;1), B(4;5). Calcule \(AB\) (norme).
~3 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Calcule le milieu de \([AB]\) avec A(−3;2) et B(5;8).
~2 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Trouve l'équation de la droite passant par A(2;3) et B(5;9).
~4 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Deux droites ont pour pentes 2 et \(-0{,}5\). Sont-elles perpendiculaires ?
~3 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Résous le système : \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\)
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
A(0;0), B(3;6), C(6;12). Sont-ils alignés ?
~4 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(\vec{u}(3;-2)\) et \(\vec{v}(-6;4)\). Sont-ils colinéaires ?
~3 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
A(1;2), B(4;3), C(5;6), D(2;5). Montre que ABCD est un parallélogramme.
~5 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Trouve l'équation de la droite passant par A(−1;4) et B(3;−4).
~4 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Résous le système : \(\begin{cases}3x+2y=13\\x-y=1\end{cases}\)
~5 lignes · par substitution
Exercice 4★★★ Difficile
A(2;1), B(5;7), C(8;13). Sont-ils alignés ?
~4 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Trouve \(k\) tel que \(\vec{u}(k;4)\) et \(\vec{v}(3;6)\) soient colinéaires.
~4 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
\(d_1\) a pour équation \(y=3x-2\). Trouve l'équation de \(d_2\), perpendiculaire à \(d_1\), passant par (0;5).
~4 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Calcule le centre de gravité du triangle A(0;0), B(6;0), C(3;9).
~3 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
A(1;5), B(4;5). Quelle est la pente de la droite (AB) ? Donne son équation.
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) A(2;−3), B(6;1). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Avec les mêmes points, calcule la norme \(AB\).
~3 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Trouve l'équation de la droite passant par A(1;2) et B(4;11).
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Résous le système : \(\begin{cases}4x+3y=18\\x-y=1\end{cases}\)
~5 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Calcule le milieu de \([AB]\) avec A(−4;7) et B(2;−3).
~2 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) A(0;3), B(4;3), C(4;7), D(0;7). Montre que ABCD est un parallélogramme.
~6 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Deux droites ont pour équations \(y=4x-1\) et \(y=4x+7\). Sont-elles parallèles, perpendiculaires ou sécantes ? Justifie.
~4 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · \(\overrightarrow{AB}\), A(1;2), B(4;6)
1\((4-1;6-2)\)
✅ \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\)
Ex 2 · Norme AB, A(0;0), B(3;4)
1\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\)
✅ AB = 5
Ex 3 · Milieu de A(1;3), B(5;7)
1\(\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{3+7}{2}\right)\)
✅ Milieu = (3;5)
Ex 7 · Système x+y=5, x-y=1
1Additionner : \(2x=6\)
2\(x=3\), donc \(y=5-3\)
✅ x=3, y=2
Ex 8 · Colinéarité u(2;3), v(4;6)
1Déterminant : \(2\times6-3\times4=12-12=0\)
✅ Oui, colinéaires
Ex 1 · Norme AB, A(1;1), B(4;5)
1\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\)
✅ AB = 5
Ex 3 · Équation droite A(2;3), B(5;9)
1\(m=\dfrac{9-3}{5-2}=2\)
2\(3=2\times2+p \Rightarrow p=-1\)
✅ y = 2x − 1
Ex 5 · Système 2x+y=7, x-y=2
1Additionner : \(3x=9\)
2\(x=3\), \(y=7-6\)
✅ x=3, y=1
Ex 6 · A,B,C alignés ? A(0;0),B(3;6),C(6;12)
1\(\overrightarrow{AB}=(3;6)\), \(\overrightarrow{AC}=(6;12)\)
2Déterminant : \(3\times12-6\times6=36-36=0\)
✅ Oui, alignés
Ex 1 · ABCD parallélogramme ?
1\(\overrightarrow{AB}=(3;1)\)
2\(\overrightarrow{DC}=(5-2;6-5)=(3;1)\)
✅ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) → parallélogramme
Ex 3 · Système 3x+2y=13, x-y=1
1\(x=y+1\), substituer : \(3(y+1)+2y=13\)
2\(5y+3=13 \Rightarrow y=2\), donc \(x=3\)
✅ x=3, y=2
Ex 5 · Trouver k pour u(k;4), v(3;6) colinéaires
1\(k\times6-4\times3=0\)
2\(6k=12\)
✅ k = 2
Ex 6 · Perpendiculaire à y=3x-2, passant par (0;5)
1\(m_2=-\dfrac{1}{3}\) (car \(3\times m_2=-1\))
✅ \(y=-\dfrac{1}{3}x+5\)
Ex 1 Contrôle · A(2;−3), B(6;1)
1\((6-2;1-(-3))\)
✅ \(\overrightarrow{AB}=(4;4)\)
Ex 3 Contrôle · Équation A(1;2), B(4;11)
1\(m=\dfrac{11-2}{4-1}=3\)
2\(2=3+p \Rightarrow p=-1\)
✅ y = 3x − 1
Ex 4 Contrôle · Système 4x+3y=18, x-y=1
1\(x=y+1\), \(4(y+1)+3y=18\)
2\(7y+4=18 \Rightarrow y=2\), donc \(x=3\)
✅ x=3, y=2
Ex 7 Contrôle · y=4x−1 et y=4x+7
1Même pente (4=4) mais p différents (−1≠7)
✅ Parallèles (et distinctes)