MathsOtop — Pack BAC · Logarithme & Exponentielle

ln — Logarithme népérien

Définition & domaine

\(\ln\) est définie sur \(\mathbb{R}^+_*\) (domaine de définition : \(x > 0\))
\(\ln\) est la réciproque de \(x \mapsto e^x\)
\(\ln(e) = 1\) · \(\ln(1) = 0\)
\(e^{\ln(x)} = x\) pour \(x > 0\)
\(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)

\(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\)

\(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)

\(\ln(a^n) = n\ln(a)\)

\(\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)\)

Dérivée & primitives

\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^+_*\)
\((\ln|x|)' = \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\)
\(\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}\) (forme composée)
Primitive de \(\dfrac{1}{x}\) : \(\ln|x| + C\)
Primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) : \(\ln|u| + C\)

Limites à connaître

\(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\) (ln croît moins vite que x)
\(\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0\)
\(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0\) pour tout \(n > 0\)

Pièges fréquents

\(\ln(a+b) \neq \ln(a)+\ln(b)\)

\(\ln(a-b) \neq \ln(a)-\ln(b)\)

Le domaine de définition de \(\ln(f(x))\) : résoudre \(f(x) > 0\)

Équation \(\ln(A) = \ln(B)\) → \(A = B\) (et vérifier que \(A > 0\))

✏️ Exemples types BAC

Dériver : \(f(x) = \ln(x^2+1)\) → \(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\)
Résoudre : \(\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(3)\) → \(\ln((x+1)(x-1)) = \ln(3)\) → \(x^2-1=3\) → \(x^2=4\) → \(x=2\) (car \(x>1\))
Limite : \(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0\) (croissances comparées)
Primitive : \(\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C\)

e — Fonction exponentielle

Propriétés fondamentales

Définie sur \(\mathbb{R}\), valeurs dans \(\mathbb{R}^+_*\)
\(e^0 = 1\) · \(e^1 = e \approx 2{,}718\)
\(e^a \times e^b = e^{a+b}\)
\(\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\)
\((e^a)^n = e^{na}\)
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)

\((e^x)' = e^x\)

\((e^u)' = u' \cdot e^u\)

Primitive de \(e^x\) : \(e^x + C\)

Primitive de \(u'\cdot e^u\) : \(e^u + C\)

Limites à connaître

\(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)
\(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\) (exp croît plus vite)
\(\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0\)
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\) (dérivée en 0)

Résoudre une équation avec exp

Isoler \(e^{f(x)}\) d'un côté

Appliquer \(\ln\) des deux côtés

Résoudre l'équation en \(x\)

Pas de restriction de domaine (exp définie partout)

Pièges fréquents

\(e^{a+b} \neq e^a + e^b\)

\(e^{2x} = (e^x)^2\) — ne pas écrire \(2e^x\)

Tableau de signe : \(e^x > 0\) toujours → le signe de \(f'(x) = u'e^u\) dépend de \(u'\)

Limite en \(-\infty\) : \(e^x \to 0\) → asymptote horizontale en \(y=0\)

✏️ Exemples types BAC

Dériver : \(f(x) = (2x-1)e^x\) → \(f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x\)
Résoudre : \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) → poser \(X = e^x\) : \(X^2-3X+2=0\) → \(X=1\) ou \(X=2\) → \(x=0\) ou \(x=\ln 2\)
Limite : \(\lim_{x\to-\infty} xe^x = 0\) (croissances comparées)
Primitive : \(\int (2x-1)e^{x^2-x}\,dx = e^{x^2-x} + C\)

📋 Tableau récapitulatif — Dérivées & Primitives

Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)	Primitive \(F(x)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(x\ln(x)-x\)
\(\ln(ax+b)\)	\(\dfrac{a}{ax+b}\)	—
\(\ln(u)\)	\(\dfrac{u'}{u}\)	—
\(e^x\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(e^{ax+b}\)	\(ae^{ax+b}\)	\(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\)
\(e^u\)	\(u'e^u\)	—
\(x^n\ln(x)\)	\(x^{n-1}(n\ln x + 1)\)	—

Équations à résoudre au BAC

\(\ln(x) = a\) → \(x = e^a\)
\(e^x = a > 0\) → \(x = \ln(a)\)
\(\ln(f(x)) = \ln(g(x))\) → \(f(x) = g(x)\) (et \(f(x)>0\))
\(e^{f(x)} = e^{g(x)}\) → \(f(x) = g(x)\)
Poser \(X = e^x\) ou \(X = \ln(x)\) pour les équations du 2nd degré

Étude de fonction — plan type BAC

Domaine de définition (résoudre \(f(x)>0\) pour ln)
Limites aux bornes du domaine
Dérivée et tableau de variations
Équations d'asymptotes éventuelles
Valeurs remarquables pour le tracé
Tracé de la courbe

4 séries · 10 exercices progressifs · Niveau BAC

📗 Série 1 — Propriétés, simplifications, équations de base

Exercice 1★ Facile

Simplifier les expressions suivantes :
a) \(\ln(e^3)\) b) \(e^{\ln 5}\) c) \(\ln(e^{-2})\) d) \(e^{2\ln 3}\)

~4 lignes · 4 calculs directs

Exercice 2★ Facile

Développer en somme : \(\ln\left(\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{x-2}\right)\) pour \(x > 2\).

~4 lignes

Exercice 3★ Facile

Résoudre les équations :
a) \(\ln(x) = 3\) b) \(e^x = 7\) c) \(\ln(2x-1) = 0\)

~4 lignes · 3 calculs

Exercice 4★ Facile

Résoudre : \(\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)\). Préciser le domaine de résolution.

~5 lignes · Domaine + équation

Exercice 5★ Facile

Résoudre : \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\). Poser \(X = e^x\).

~5 lignes · Changement de variable

Exercice 6★★ Intermédiaire

Calculer sans calculatrice :
a) \(e^{\ln 2 + \ln 3}\) b) \(e^{3\ln 2}\) c) \(\ln\left(\dfrac{1}{e^2}\right)\) d) \(\ln\left(e\sqrt{e}\right)\)

~4 lignes

Exercice 7★★ Intermédiaire

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(x^2 - 3x + 2) = 0\). Attention au domaine !

~5 lignes · Domaine + 2 solutions

Exercice 8★★ Intermédiaire

Résoudre l'inéquation : \(\ln(x+1) > \ln(2x-3)\).

~5 lignes · Domaine + signe

Exercice 9★★ Intermédiaire

Résoudre : \((\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0\). Poser \(X = \ln x\).

~5 lignes

Exercice 10★★★ Difficile

Un capital \(C_0\) est placé à un taux annuel de 3%. Après combien d'années est-il doublé ?
On utilisera \(\ln(2) \approx 0{,}693\).

~5 lignes · Équation exponentielle

📘 Série 2 — Dérivées, primitives, intégrales

Exercice 1★ Facile

Dériver :
a) \(f(x) = 3\ln(x) + 2x\) b) \(g(x) = e^{2x} - x\) c) \(h(x) = \ln(x^2+1)\)

~5 lignes · 3 calculs

Exercice 2★ Facile

Dériver :
a) \(f(x) = x \cdot e^x\) b) \(g(x) = \dfrac{e^x}{x}\) c) \(h(x) = x^2 e^{-x}\)

~5 lignes · Produit et quotient

Exercice 3★★ Intermédiaire

Dériver :
a) \(f(x) = e^{x^2-3x}\) b) \(g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\) pour \(x>1\) c) \(h(x) = \sqrt{\ln(x)}\)

~6 lignes · Dérivées composées

Exercice 4★★ Intermédiaire

Calculer les primitives :
a) \(\displaystyle\int \dfrac{3}{x}\,dx\) b) \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx\) c) \(\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2+3}\,dx\)

~5 lignes · 3 primitives

Exercice 5★★ Intermédiaire

Calculer les intégrales définies :
a) \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\) b) \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\) c) \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\)

~6 lignes · 3 intégrales

Exercice 6★★ Intermédiaire

Dériver \(f(x) = (2x-1)\ln(x)\) puis calculer \(\displaystyle\int_1^e (2x-1)\cdot\dfrac{1}{x}\,dx\) en utilisant une intégration par parties.

~6 lignes · IBP

Exercice 7★★★ Difficile

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx\) par intégration par parties.

~6 lignes · u=x, v'=eˣ

Exercice 8★★★ Difficile

Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx\). Indice : intégration par parties avec \(u = \ln(x)\) et \(v' = 1\).

~6 lignes · IBP classique

Exercice 9★★★ Difficile

Soit \(f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et montrer qu'elle est de la forme \(\dfrac{A}{(e^x+1)^2}\).
2. Montrer que \(f\) est strictement croissante.

~7 lignes · 2 questions

Exercice 10★★★★ Expert

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe \(y = e^x - x\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 1\).

~6 lignes · Intégrale + signe

📙 Série 3 — Étude complète de fonctions

Exercice 1★★ Intermédiaire

Soit \(f(x) = x - \ln(x)\) définie sur \((0;+\infty)\).
1. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
2. Montrer que \(f(x) \geq 1\) pour tout \(x > 0\).
3. En déduire que \(\ln(x) \leq x - 1\).

~9 lignes · 3 questions

Exercice 2★★ Intermédiaire

Étudier la fonction \(g(x) = xe^{-x}\) :
1. Domaine, limites en \(\pm\infty\).
2. Dérivée et tableau de variations (avec maximum).
3. Tracer la courbe.

~9 lignes · Étude complète

Exercice 3★★★ Difficile

Soit \(h(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}\) sur \((0;+\infty)\).
1. Limites aux bornes du domaine.
2. Dérivée, variations, maximum.
3. Équation de la tangente au point d'abscisse \(e\).
4. Résoudre \(h(x) = 0\).

~10 lignes · Étude complète

Exercice 4★★★ Difficile

Soit \(f(x) = (x-2)e^x\).
1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
2. Dresser le tableau de variations complet.
3. Étudier la convexité.
4. Montrer que \(y = -e^2\) est une valeur minimale.

~10 lignes

Exercice 5★★★ Difficile

Soit \(f(x) = \ln(x^2 - 4x + 4)\).
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Simplifier \(f(x)\).
3. Étudier les variations et tracer la courbe.

~8 lignes

Exercice 6★★★ Difficile

La courbe \(\mathcal{C}\) a pour équation \(y = e^x - ex\).
1. Montrer que la droite \(y = 0\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(x = 1\).
2. Montrer que \(\mathcal{C}\) est au-dessus de l'axe des abscisses.

~8 lignes · 2 questions

Exercice 7★★★ Difficile

Étudier les branches infinies de \(f(x) = x + \ln(x)\) et \(g(x) = xe^{-x}\).
Existe-t-il des asymptotes ? Des droites obliques ?

~7 lignes · 2 fonctions

Exercice 8★★★★ Expert

Soit \(f(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\) (cosinus hyperbolique).
1. Montrer que \(f\) est paire.
2. Étudier les variations.
3. Calculer \(f'(x)\) — reconnaître la fonction "sinus hyperbolique".
4. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\).

~10 lignes · 4 questions

Exercice 9★★★★ Expert

Soit \(f(x) = e^x\sin(x)\).
1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
2. Trouver les extrema locaux sur \([0; 2\pi]\).
3. Calculer l'intégrale \(\displaystyle\int_0^\pi e^x\sin(x)\,dx\) par deux IBP.

~11 lignes · 3 questions

Exercice 10★★★★ Synthèse

Soit \(f(x) = x\ln(x) - x + 1\) sur \((0;+\infty)\).
1. Calculer \(f'(x)\). Montrer que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x > 0\).
2. En déduire que \(\ln(x) \geq 1 - \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\).
3. Calculer \(\displaystyle\int_1^e (x\ln x - x + 1)\,dx\).

~10 lignes · 3 questions

📕 Série 4 — Sujets type BAC

Exercice 1 — BACNiveau BAC

(6 pts) Soit \(f(x) = (x+1)e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(\lim_{x\to+\infty} f(x)\) et \(\lim_{x\to-\infty} f(x)\). (2 pts)
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet. (2 pts)
3. Démontrer que la courbe a un point d'inflexion et trouver ses coordonnées. (2 pts)

~11 lignes · 3 questions

Exercice 2 — BACNiveau BAC

(5 pts) On considère \(g(x) = \ln(x) - x + 1\) sur \((0;+\infty)\).
1. Étudier les variations de \(g\) et montrer que \(g(x) \leq 0\) pour tout \(x > 0\). (3 pts)
2. En déduire que pour tout \(x > 0\) : \(\ln(x) \leq x - 1\). (1 pt)
3. Application : encadrer \(\ln(1{,}1)\) à \(0{,}01\) près. (1 pt)

~10 lignes

Exercice 3 — BACNiveau BAC

(5 pts) Un virus se propage selon la loi \(N(t) = N_0 e^{kt}\) où \(t\) est le temps en jours et \(N_0\) la population initiale.
1. Au temps \(t=0\), \(N_0 = 1000\). À \(t=5\) jours, \(N = 3000\). Calculer \(k\) (arrondir à \(10^{-3}\)). (2 pts)
2. Quand la population atteint-elle 10 000 personnes ? (2 pts)
3. Calculer \(N'(t)\) et interpréter. (1 pt)

~10 lignes · 3 questions

Exercice 4 — BACNiveau BAC

(6 pts) Soit \(f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}\) sur \((0;+\infty)\).
1. Calculer les limites en \(0^+\) et en \(+\infty\). (2 pts)
2. Étude des variations, maximum. (2 pts)
3. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e^2\). (2 pts)

~11 lignes · 3 questions

Exercice 5 — BACNiveau BAC

(4 pts) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(e^{2x} - 4e^x + 3 = 0\) (2 pts)
b) \((\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0\) (2 pts)

~8 lignes · 2 équations

Exercice 6 — BACNiveau BAC

(5 pts) Un médicament a une concentration \(C(t) = C_0 t e^{-\alpha t}\) dans le sang (\(t\geq 0\), \(C_0 > 0\), \(\alpha > 0\)).
1. Calculer \(C'(t)\) et trouver le pic de concentration. (2 pts)
2. Calculer \(\lim_{t\to+\infty} C(t)\). (1 pt)
3. Pour \(\alpha = 0{,}5\) et \(C_0 = 10\), calculer la concentration maximale et le temps auquel elle est atteinte. (2 pts)

~10 lignes

Exercice 7 — BACNiveau BAC

(4 pts) On pose \(I = \displaystyle\int_0^1 x e^{-x^2}\,dx\).
1. Justifier que la primitive de \(xe^{-x^2}\) est de la forme \(Ae^{-x^2}\). Trouver \(A\). (2 pts)
2. Calculer \(I\). (2 pts)

~7 lignes

Exercice 8 — BACNiveau BAC

(4 pts) Soit \(f(x) = e^x - ex\).
1. Montrer que \(f'(1) = 0\) et que \(x=1\) est un minimum global. (2 pts)
2. En déduire l'inégalité \(e^x \geq ex\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). (1 pt)
3. Pour \(x = 1/n\) (\(n\) entier), en déduire que \(e^{1/n} \geq \dfrac{e}{n}\) et la limite de \((e^{1/n})^n\). (1 pt)

~10 lignes

Exercice 9 — BAC★★★★ Expert BAC

(6 pts) On cherche à résoudre l'équation différentielle \(y' - 2y = e^x\).
1. Résoudre \(y' - 2y = 0\) (solution homogène). (2 pts)
2. Chercher une solution particulière de la forme \(Ae^x\). (2 pts)
3. Donner la solution générale. Trouver la solution vérifiant \(y(0) = 1\). (2 pts)

~11 lignes · 3 questions

Exercice 10 — BAC★★★★ Synthèse

(7 pts — synthèse) Soit \(f(x) = x^2 - 2\ln(x)\) sur \((0;+\infty)\).
1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\). Dresser le tableau de variations. (2 pts)
2. Montrer que \(f\) a un minimum en \(x=1\). En déduire que \(x^2 \geq 2\ln(x)+1\). (2 pts)
3. Calculer l'équation de la tangente en \(x=1\). (1 pt)
4. Calculer \(\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx\). (2 pts)

~12 lignes · 4 questions

Correction complète · Téléchargeable

Ex 1 · Simplifications : ln(e³), e^(ln5), ln(e⁻²), e^(2ln3)

a\(\ln(e^3) = 3\)

b\(e^{\ln 5} = 5\)

c\(\ln(e^{-2}) = -2\)

d\(e^{2\ln 3} = e^{\ln 3^2} = 9\)

✅ 3 · 5 · −2 · 9

Ex 2 · Développer \(\ln\left(\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{x-2}\right)\)

1\(\ln(x^2) + \ln(\sqrt{x+1}) - \ln(x-2)\)

2\(= 2\ln(x) + \dfrac{1}{2}\ln(x+1) - \ln(x-2)\)

✅ \(2\ln x + \dfrac{1}{2}\ln(x+1) - \ln(x-2)\)

Ex 4 · \(\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(5)\)

1Domaine : \(x+3>0\) et \(x-1>0\) → \(x>1\)

2\(\ln((x+3)(x-1)) = \ln 5\) → \((x+3)(x-1) = 5\)

3\(x^2+2x-3=5\) → \(x^2+2x-8=0\) → \((x+4)(x-2)=0\)

4\(x=-4\) (refusé car \(x>1\)) ou \(x=2\) ✓

✅ S = {2}

Ex 5 · \(e^{2x}-5e^x+6=0\) avec \(X=e^x\)

1\(X^2-5X+6=0\) → \((X-2)(X-3)=0\) → \(X=2\) ou \(X=3\)

2\(e^x=2\) → \(x=\ln 2\) · \(e^x=3\) → \(x=\ln 3\)

✅ S = {ln2 ; ln3}

Ex 10 · Capital doublé à 3%/an

1Après \(n\) ans : \(C_n = C_0 \times 1{,}03^n = 2C_0\) → \(1{,}03^n = 2\)

2\(n\ln(1{,}03) = \ln(2)\) → \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4\)

3Il faut donc 24 ans pour doubler le capital.

✅ 24 ans (règle des 72 : 72/3 = 24 ✓)

Ex 1 · Dérivées de base

a\(f'(x) = \dfrac{3}{x} + 2\)

b\(g'(x) = 2e^{2x} - 1\)

c\(h'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\) (dérivée de \(\ln(u)\) avec \(u=x^2+1\))

✅ 3/x+2 · 2e^(2x)-1 · 2x/(x²+1)

Ex 7 · \(\int_0^1 xe^x\,dx\) par IBP

1IBP : \(u=x\), \(v'=e^x\) → \(u'=1\), \(v=e^x\)

2\(\int_0^1 xe^x\,dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1)\)

3\(= e - e + 1 = 1\)

✅ \(\int_0^1 xe^x\,dx = 1\)

Ex 8 · \(\int_1^e \ln(x)\,dx\) par IBP

1\(u=\ln x\), \(v'=1\) → \(u'=1/x\), \(v=x\)

2\(\int_1^e \ln x\,dx = [x\ln x]_1^e - \int_1^e 1\,dx = (e\cdot1 - 1\cdot0) - [x]_1^e\)

3\(= e - (e-1) = 1\)

✅ \(\int_1^e \ln x\,dx = 1\)

Ex 1 · \(f(x)=x-\ln x\), minimum en x=1, \(f\geq1\)

1\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\)

2\(f'(x) < 0\) sur \((0;1)\) et \(f'(x) > 0\) sur \((1;+\infty)\) → minimum en \(x=1\)

3\(f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1\) → minimum = 1 → \(f(x) \geq 1\)

4Donc \(x-\ln x \geq 1\) → \(\ln x \leq x-1\) ✓

✅ Minimum f(1)=1, donc f(x)≥1 → ln(x)≤x-1

Ex 3 · \(h(x)=\ln(x)/x\)

1\(\lim_{x\to0^+} h(x) = -\infty\) (ln(x)→-∞, x→0⁺) · \(\lim_{x\to+\infty} h(x) = 0\) (croissances comp.)

2\(h'(x) = \dfrac{1/x \cdot x - \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\)

3\(h'(x) > 0\) si \(\ln x < 1\), soit \(x < e\) → max en \(x=e\) : \(h(e) = 1/e\)

4Tangente en \(x=e\) : \(y = h(e) + h'(e)(x-e) = 1/e + 0 = 1/e\) (horizontale)

5\(h(x)=0\) → \(\ln x = 0\) → \(x=1\)

✅ Max en x=e : h(e)=1/e · Tangente y=1/e · h(1)=0

Ex 1 BAC · \(f(x)=(x+1)e^{-x}\)

1\(\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0\) (croissances comp.) · \(\lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty\)

2\(f'(x) = e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x-1) = -xe^{-x}\)

3Signe de \(f'\) : \(e^{-x}>0\) toujours → signe de \(-x\) → \(f\) croît sur \((-\infty;0)\), décroît sur \((0;+\infty)\). Max en \(x=0\) : \(f(0)=1\).

4\(f''(x) = -(e^{-x} - xe^{-x}) = (x-1)e^{-x}\) → \(f''=0\) en \(x=1\) : point d'inflexion en \((1,2e^{-1})\)

✅ Max en (0,1) · Inflexion en (1, 2/e)

Ex 3 BAC · Virus \(N(t)=N_0e^{kt}\)

1\(N(5) = 1000e^{5k} = 3000\) → \(e^{5k}=3\) → \(5k=\ln 3\) → \(k=\dfrac{\ln 3}{5} \approx \dfrac{1{,}099}{5} \approx 0{,}220\)

2\(1000e^{0{,}220t} = 10000\) → \(e^{0{,}220t}=10\) → \(t=\dfrac{\ln 10}{0{,}220} \approx \dfrac{2{,}303}{0{,}220} \approx 10{,}5\) jours

3\(N'(t) = kN_0e^{kt} = kN(t)\) → la vitesse de propagation est proportionnelle à la population (croissance exponentielle)

✅ k≈0,220 · 10 000 atteint après ≈10,5 jours

Ex 5 BAC · \(e^{2x}-4e^x+3=0\) et \((\ln x)^2+\ln x-2=0\)

a1Poser \(X=e^x\) : \(X^2-4X+3=0\) → \((X-1)(X-3)=0\) → \(X=1\) ou \(X=3\)

a2\(e^x=1\) → \(x=0\) · \(e^x=3\) → \(x=\ln 3\)

b1Poser \(Y=\ln x\) (\(x>0\)) : \(Y^2+Y-2=0\) → \((Y+2)(Y-1)=0\)

b2\(\ln x=-2\) → \(x=e^{-2}\) · \(\ln x=1\) → \(x=e\)

✅ (a) x∈{0 ; ln3} · (b) x∈{e⁻² ; e}

Ex 9 BAC · Équation différentielle y'-2y=eˣ

1Homogène \(y'-2y=0\) : \(y=Ce^{2x}\), \(C\in\mathbb{R}\)

2Particulière \(y_p=Ae^x\) : \(y_p'=Ae^x\) → \(Ae^x-2Ae^x=e^x\) → \(-A=1\) → \(A=-1\) → \(y_p=-e^x\)

3Solution générale : \(y=Ce^{2x}-e^x\)

4\(y(0)=C-1=1\) → \(C=2\) → \(y=2e^{2x}-e^x\)

✅ y = Ce^(2x) − eˣ · Solution particulière : y = 2e^(2x) − eˣ

Logarithme & Exponentielle

ln — Logarithme népérien

Définition & domaine

Dérivée & primitives

Limites à connaître

Pièges fréquents

✏️ Exemples types BAC

e — Fonction exponentielle

Propriétés fondamentales

Limites à connaître

Résoudre une équation avec exp

Pièges fréquents

✏️ Exemples types BAC

📋 Tableau récapitulatif — Dérivées & Primitives

Équations à résoudre au BAC

Étude de fonction — plan type BAC

∫ Logarithme & Exponentielle — Aide-mémoire

📈 Fonction exponentielle

📉 Fonction logarithme

🔢 Limites fondamentales

📊 Tableaux de variations

📐 Visualisation interactive