f' — Dérivées et applications
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(n \in \mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(x > 0\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(x \neq 0\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | — |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | — |
| \(\tan(x)\) | \(1+\tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\cos x \neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(x > 0\) |
Règles de calcul
- \((u+v)' = u' + v'\)
- \((\lambda u)' = \lambda u'\)
- \((uv)' = u'v + uv'\) — règle du produit
- \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) — règle du quotient
- \((u \circ v)' = v' \cdot u'(v)\) — règle de la chaîne
\((\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\((u^n)' = nu'u^{n-1}\)
\(\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}\)
Étude de fonction — plan BAC
Pièges fréquents
✏️ Convexité & Point d'inflexion
\(f(x) = x^3 - 3x\) → \(f'(x) = 3x^2-3\) → \(f''(x) = 6x\)
\(f'' > 0\) si \(x > 0\) → convexe sur \((0;+\infty)\)
\(f'' < 0\) si \(x < 0\) → concave sur \((-\infty;0)\)
Point d'inflexion en \(x=0\) : \((0, f(0)) = (0, 0)\)
∫ — Intégrales et calcul d'aires
Primitives usuelles
- \(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (\(n \neq -1\))
- \(\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
- \(\int e^x\,dx = e^x + C\)
- \(\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} + C\)
- \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
- \(\int \cos x\,dx = \sin x + C\)
- \(\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C\)
- \(\int u' \cdot e^u\,dx = e^u + C\)
\(\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)\)
\(\text{Aire} = \int_a^b |f(x)|\,dx\)
Intégration par parties (IBP)
- Formule : \(\int_a^b u'v\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\,dx\)
- Choisir \(v\) facile à dériver, \(u'\) facile à intégrer
- Règle ALPES : Arctan, Log, Poly, Exp, Sin/cos → choisir \(v\) dans cet ordre
Calcul d'aire entre 2 courbes
Pièges fréquents
✏️ Exemples types BAC
IBP : \(\int_0^1 xe^x\,dx\) avec \(u=x\), \(v'=e^x\) → \([xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e-(e-1) = 1\)
Aire : Entre \(y=x^2\) et \(y=x\) sur \([0,1]\) : \(\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{6}\)
Valeur moyenne : \(\bar{f} = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\)
📋 Méthodes clés au BAC
Tangente en x=a
- Pente : \(m = f'(a)\)
- Équation : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
- Tangente horizontale : \(f'(a) = 0\) (extremum candidat)
- Tangente au point d'inflexion : \(f''(a)=0\) et \(f''\) change de signe
Inégalité & position relative
- Montrer \(f(x) \geq 0\) → minimum de \(f\) est \(\geq 0\)
- Comparer \(f\) et \(g\) → étudier \(h=f-g\)
- Tangente au-dessous → courbe convexe
- Encadrer \(\int_a^b f\) → \(\min f \cdot (b-a) \leq \int \leq \max f \cdot (b-a)\)
4 séries · 10 exercices · Niveau BAC
📗 Série 1 — Dérivées : calcul et applications
Exercice 1★ Facile
Dériver les fonctions suivantes :
a) \(f(x)=3x^4-5x^2+2x-1\) b) \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\) c) \(h(x)=\sqrt{2x+3}\)
a) \(f(x)=3x^4-5x^2+2x-1\) b) \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\) c) \(h(x)=\sqrt{2x+3}\)
~5 lignes
Exercice 2★ Facile
Dériver :
a) \(f(x)=(3x-1)^5\) b) \(g(x)=\sin(2x+\pi/3)\) c) \(h(x)=\cos^2(x)\)
a) \(f(x)=(3x-1)^5\) b) \(g(x)=\sin(2x+\pi/3)\) c) \(h(x)=\cos^2(x)\)
~5 lignes · Dérivée composée
Exercice 3★ Facile
Calculer \(f'(x)\), \(f''(x)\) puis les zéros de \(f''\) :
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)
~5 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Trouver l'équation de la tangente à la courbe \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) au point d'abscisse \(x=2\).
~4 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Dériver \(f(x) = x\sin(x)\) puis calculer la tangente au point \((0, 0)\).
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Trouver les extrema de \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2+1}\) en étudiant le signe de \(f'\).
~6 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Étudier la convexité de \(g(x) = e^x - x^2\) et trouver ses points d'inflexion.
~5 lignes
Exercice 8★★★ Difficile
Dériver \(f(x) = \arctan(x)\) en partant de \(\tan(f(x)) = x\) et en utilisant la dérivée de tan.
~6 lignes · Dérivée implicite
Exercice 9★★★ Difficile
Montrer que \(f(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}\) (fonction sigmoïde) vérifie \(f'(x) = f(x)(1-f(x))\).
~6 lignes
Exercice 10★★★★ Expert
Soit \(f(x) = x^x\) pour \(x > 0\). Calculer \(f'(x)\) en écrivant \(f(x) = e^{x\ln x}\).
~5 lignes
📘 Série 2 — Étude complète de fonctions
Exercice 1★★ Intermédiaire
Étude complète de \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) :
1. Domaine, parité.
2. Variations (avec tableau de variations).
3. Convexité et points d'inflexion.
4. Tracer la courbe.
1. Domaine, parité.
2. Variations (avec tableau de variations).
3. Convexité et points d'inflexion.
4. Tracer la courbe.
~10 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) :
1. Limites et asymptotes (oblique ?).
2. Dérivée et variations.
3. Tableau de variations complet.
1. Limites et asymptotes (oblique ?).
2. Dérivée et variations.
3. Tableau de variations complet.
~10 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Soit \(f(x) = \sin x + \cos x\) sur \([0, 2\pi]\).
1. Calculer \(f'(x)\). Résoudre \(f'(x)=0\).
2. Dresser le tableau de variations.
3. Calculer \(f''(x)\) et étudier la convexité.
4. Écrire \(f(x)\) sous forme \(A\sin(x+\varphi)\).
1. Calculer \(f'(x)\). Résoudre \(f'(x)=0\).
2. Dresser le tableau de variations.
3. Calculer \(f''(x)\) et étudier la convexité.
4. Écrire \(f(x)\) sous forme \(A\sin(x+\varphi)\).
~10 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Soit \(h(x) = \dfrac{e^x}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
1. Limites en 0 et en \(\pm\infty\).
2. Variations.
3. Montrer que la tangente au minimum est horizontale.
4. Donner l'équation de cette tangente.
1. Limites en 0 et en \(\pm\infty\).
2. Variations.
3. Montrer que la tangente au minimum est horizontale.
4. Donner l'équation de cette tangente.
~10 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\) la droite \(y = 2x+a\) est-elle tangente à la courbe \(y = x^3\) ?
~7 lignes · Système
Exercice 6★★★ Difficile
Montrer que la courbe de \(f(x) = x^3 - x\) est symétrique par rapport à l'origine, puis trouver son point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.
~7 lignes
Exercice 7★★★ Difficile
Soit \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(f'(x)\) et montrer qu'elle est positive.
3. Calculer \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) et identifier les asymptotes.
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(f'(x)\) et montrer qu'elle est positive.
3. Calculer \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) et identifier les asymptotes.
~8 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
Étude de \(f(x) = (x^2-1)e^{-x}\) :
1. Domaine, parité, limites.
2. Dérivée, variations, extrema.
3. Dérivée seconde et convexité.
4. Points d'inflexion.
1. Domaine, parité, limites.
2. Dérivée, variations, extrema.
3. Dérivée seconde et convexité.
4. Points d'inflexion.
~11 lignes
Exercice 9★★★★ Expert
Montrer que la fonction \(f(x) = x - \sin x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) sans calculer ses extrema.
~5 lignes · f'≥0
Exercice 10★★★★ Expert
Résoudre le système : \(\begin{cases}f'(a)=0\\f(a)=0\end{cases}\) pour \(f(x)=x^3+ax+b\). En déduire les conditions sur \(a, b\) pour que \(f\) ait un double zéro.
~8 lignes
📙 Série 3 — Calcul intégral et aires
Exercice 1★ Facile
Calculer :
a) \(\displaystyle\int_1^3 (2x^2-x+1)\,dx\) b) \(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx\) c) \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\)
a) \(\displaystyle\int_1^3 (2x^2-x+1)\,dx\) b) \(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx\) c) \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\)
~5 lignes
Exercice 2★ Facile
Calculer l'aire de la surface entre la parabole \(y = x^2\) et la droite \(y = x\) sur \([0,1]\).
~5 lignes · Points d'intersection
Exercice 3★★ Intermédiaire
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx\) par intégration par parties.
~5 lignes · u=x, v'=eˣ
Exercice 4★★ Intermédiaire
Calculer \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\) par IBP.
~6 lignes · u=ln x, v'=x
Exercice 5★★ Intermédiaire
Calculer l'aire comprise entre les courbes \(y = \sin x\) et \(y = \cos x\) sur \([0, \pi/2]\).
~6 lignes · Intersection en π/4
Exercice 6★★ Intermédiaire
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2 + 1\) sur \([0,3]\).
~4 lignes · Formule valeur moyenne
Exercice 7★★★ Difficile
Calculer \(\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx\) par IBP.
~6 lignes
Exercice 8★★★ Difficile
Calculer l'aire de la région délimitée par \(y = \sqrt{x}\) et \(y = x^2\) entre leurs deux points d'intersection.
~7 lignes · Points d'intersection + signe
Exercice 9★★★ Difficile
En posant \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx\), montrer par IBP que \(I_n = e - nI_{n-1}\).
Calculer \(I_0\) puis \(I_1\) et \(I_2\).
Calculer \(I_0\) puis \(I_1\) et \(I_2\).
~8 lignes · Relation de récurrence
Exercice 10★★★★ Expert
Montrer que \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,dx = \dfrac{\pi}{4}\) en utilisant la primitive de \(\dfrac{1}{1+x^2}\) qui est \(\arctan(x)\).
En déduire une approximation de \(\pi\) avec 3 décimales.
En déduire une approximation de \(\pi\) avec 3 décimales.
~6 lignes
📕 Série 4 — Sujets type BAC
Exercice 1 — BACNiveau BAC
(6 pts) Soit \(f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x+1}\) définie sur \((-1;+\infty)\).
1. Montrer que \(f(x) = x + \dfrac{1}{x+1}\). (1 pt)
2. Étudier les variations. (2 pts)
3. Montrer que la droite \(y=x\) est une asymptote oblique. (1 pt)
4. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\). (2 pts)
1. Montrer que \(f(x) = x + \dfrac{1}{x+1}\). (1 pt)
2. Étudier les variations. (2 pts)
3. Montrer que la droite \(y=x\) est une asymptote oblique. (1 pt)
4. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\). (2 pts)
~11 lignes
Exercice 2 — BACNiveau BAC
(5 pts) On note \(\mathcal{C}\) la courbe de \(f(x) = x - 2 + e^{-x}\).
1. Calculer \(f'(x)\). Montrer que \(f\) est convexe. (2 pts)
2. Trouver le minimum de \(f\). (1 pt)
3. Montrer que la droite \(y = x-2\) est une asymptote oblique en \(+\infty\). (1 pt)
4. Calculer l'aire entre \(\mathcal{C}\) et son asymptote sur \([0,2]\). (1 pt)
1. Calculer \(f'(x)\). Montrer que \(f\) est convexe. (2 pts)
2. Trouver le minimum de \(f\). (1 pt)
3. Montrer que la droite \(y = x-2\) est une asymptote oblique en \(+\infty\). (1 pt)
4. Calculer l'aire entre \(\mathcal{C}\) et son asymptote sur \([0,2]\). (1 pt)
~11 lignes
Exercice 3 — BACNiveau BAC
(5 pts) La vitesse d'un véhicule en freinage d'urgence est \(v(t) = v_0 e^{-kt}\) (m/s).
1. Calculer \(v'(t)\) et interpréter. (1 pt)
2. Si \(v_0=30\) m/s et qu'après 3 s la vitesse est 15 m/s, calculer \(k\). (2 pts)
3. Calculer la distance parcourue pendant le freinage (de \(t=0\) à l'arrêt complet). (2 pts)
1. Calculer \(v'(t)\) et interpréter. (1 pt)
2. Si \(v_0=30\) m/s et qu'après 3 s la vitesse est 15 m/s, calculer \(k\). (2 pts)
3. Calculer la distance parcourue pendant le freinage (de \(t=0\) à l'arrêt complet). (2 pts)
~10 lignes
Exercice 4 — BACNiveau BAC
(5 pts) Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\).
1. Dresser le tableau de variations. (2 pts)
2. Calculer les extrema locaux. (1 pt)
3. Calculer l'aire entre la courbe et son axe sur \([-2, 0]\). (2 pts)
1. Dresser le tableau de variations. (2 pts)
2. Calculer les extrema locaux. (1 pt)
3. Calculer l'aire entre la courbe et son axe sur \([-2, 0]\). (2 pts)
~10 lignes
Exercice 5 — BACNiveau BAC
(4 pts) Calculer par IBP :
a) \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\) (2 pts) b) \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\) (2 pts)
a) \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\) (2 pts) b) \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\) (2 pts)
~9 lignes · 2 IBP
Exercice 6 — BACNiveau BAC
(4 pts) Un bassin de jardin a un profil décrit par \(y = 0{,}1x^2\) entre \(x = -3\) et \(x = 3\) (en mètres).
1. Calculer la hauteur maximale du bassin. (1 pt)
2. Calculer l'aire de la surface de la paroi intérieure. (3 pts)
1. Calculer la hauteur maximale du bassin. (1 pt)
2. Calculer l'aire de la surface de la paroi intérieure. (3 pts)
~8 lignes · Intégrale
Exercice 7 — BACNiveau BAC
(4 pts) Montrer que \(F(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x\) est une primitive de \(f(x) = x^2 e^x\) sur \(\mathbb{R}\).
Puis calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx\).
Puis calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx\).
~7 lignes
Exercice 8 — BACNiveau BAC
(4 pts) Soit \(f(x) = 2x - 1 - \ln(x)\) sur \((0;+\infty)\).
1. Montrer que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x > 0\). (2 pts)
2. En déduire que \(\ln x \leq 2x - 1\). (1 pt)
3. Calculer \(\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx\). (1 pt)
1. Montrer que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x > 0\). (2 pts)
2. En déduire que \(\ln x \leq 2x - 1\). (1 pt)
3. Calculer \(\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx\). (1 pt)
~8 lignes
Exercice 9 — BAC★★★★ Expert
(6 pts) On pose \(J_n = \displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx\) pour \(n \geq 0\).
1. Calculer \(J_0\). (1 pt)
2. Montrer par IBP que \(J_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). (3 pts)
3. En déduire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n\). (2 pts)
1. Calculer \(J_0\). (1 pt)
2. Montrer par IBP que \(J_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). (3 pts)
3. En déduire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n\). (2 pts)
~11 lignes
Exercice 10 — BAC★★★★ Synthèse
(7 pts — synthèse) Soit \(f(x) = \dfrac{1}{2}(x+\sin x)\) sur \([0,\pi]\).
1. Calculer \(f'(x)\). Étudier les variations. (2 pts)
2. Calculer \(f''(x)\) et les points d'inflexion. (2 pts)
3. Calculer l'aire entre \(\mathcal{C}\) et l'axe des abscisses. (2 pts)
4. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0,\pi]\). (1 pt)
1. Calculer \(f'(x)\). Étudier les variations. (2 pts)
2. Calculer \(f''(x)\) et les points d'inflexion. (2 pts)
3. Calculer l'aire entre \(\mathcal{C}\) et l'axe des abscisses. (2 pts)
4. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0,\pi]\). (1 pt)
~12 lignes · 4 questions
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Dérivées : \(3x^4-5x^2+2x-1\), \(\frac{x^2+1}{x-1}\), \(\sqrt{2x+3}\)
a\(f'(x) = 12x^3 - 10x + 2\)
b\(g'(x) = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\)
c\(h'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}\)
✅ 12x³-10x+2 · (x²-2x-1)/(x-1)² · 1/√(2x+3)
Ex 3 · \(f=x^3-6x^2+9x+2\), f' et f''
1\(f'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)\)
2\(f''(x) = 6x-12 = 6(x-2)\) → s'annule en \(x=2\)
3Point d'inflexion en \(x=2\) : \(f(2)=8-24+18+2=4\) → point \((2,4)\)
✅ f'=3(x-1)(x-3) · f''=6(x-2) · Inflexion en (2,4)
Ex 10 · \(f(x)=x^x = e^{x\ln x}\)
1Poser \(g(x) = x\ln x\) → \(g'(x) = \ln x + 1\)
2\(f'(x) = e^{x\ln x} \cdot g'(x) = x^x(\ln x + 1)\)
✅ \(f'(x) = x^x(\ln x + 1)\)
Ex 1 · Étude complète \(f(x)=x^3-3x+2\)
1\(f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)\) → max en \(x=-1\) : \(f(-1)=4\), min en \(x=1\) : \(f(1)=0\)
2\(f''(x) = 6x\) → inflexion en \(x=0\) : \(f(0)=2\), tangente pente \(f'(0)=-3\) → \(y=-3x+2\)
3f croît sur \((-\infty;-1)\), décroît sur \((-1;1)\), croît sur \((1;+\infty)\)
✅ Max(-1,4) · Min(1,0) · Inflexion(0,2)
Ex 5 · Tangente \(y=2x+a\) à \(y=x^3\)
1Au point de tangence \(x_0\) : pente \(f'(x_0) = 3x_0^2 = 2\) → \(x_0 = \pm\sqrt{2/3}\)
2Équation tangente : \(y = 2x + (x_0^3 - 2x_0)\) → \(a = x_0^3-2x_0 = x_0(x_0^2-2)\)
3Pour \(x_0=\sqrt{2/3}\) : \(a = -\frac{4}{3}\sqrt{2/3} \approx -1{,}09\)
✅ Deux tangentes : \(a = \pm\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Ex 3 · \(\int_0^1 xe^x\,dx\) par IBP
1IBP : \(u=x\), \(v'=e^x\) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
2\([xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e-(e-1) = 1\)
✅ = 1
Ex 7 · \(\int_0^\pi x\sin x\,dx\)
1IBP : \(u=x\), \(v'=\sin x\) → \(u'=1\), \(v=-\cos x\)
2\([-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx = (-\pi\cos\pi+0) + [\sin x]_0^\pi\)
3\(= (-\pi\times(-1)) + 0 = \pi\)
✅ \(\int_0^\pi x\sin x\,dx = \pi\)
Ex 10 · \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \pi/4\)
1Primitive de \(\dfrac{1}{1+x^2}\) est \(\arctan(x)\)
2\([\arctan x]_0^1 = \arctan(1)-\arctan(0) = \pi/4 - 0 = \pi/4\) ✓
3Approximation de \(\pi\) : par la série \(\pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+\cdots\) → \(\pi \approx 3{,}141\)
✅ \(\pi/4\) · Approximation : \(\pi \approx 3{,}141\)
Ex 2 BAC · \(f(x)=x-2+e^{-x}\)
1\(f'(x) = 1-e^{-x}\) · \(f''(x) = e^{-x} > 0\) → convexe sur \(\mathbb{R}\)
2\(f'(x)=0\) → \(e^{-x}=1\) → \(x=0\) : minimum, \(f(0)=-2+1=-1\)
3En \(+\infty\) : \(e^{-x}\to0\) → \(f(x)\to x-2\) → asymptote oblique \(y=x-2\)
4Aire = \(\int_0^2 e^{-x}\,dx = [-e^{-x}]_0^2 = -e^{-2}+1 = 1-e^{-2} \approx 0{,}865\)
✅ Min en (0,-1) · Asymptote y=x-2 · Aire≈0,865
Ex 5 BAC · \(\int_1^e \ln x\,dx\) et \(\int_0^\pi x\cos x\,dx\)
a1IBP : \(u=\ln x\), \(v'=1\) → \([x\ln x]_1^e - \int_1^e 1\,dx = e - (e-1) = 1\)
b1IBP : \(u=x\), \(v'=\cos x\) → \([x\sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x\,dx\)
b2\(= 0 - [-\cos x]_0^\pi = -(cos\pi-\cos0) = -(-1-1) = -2\)
✅ (a) = 1 · (b) = −2
Ex 7 BAC · Vérifier \(F(x)=(x^2-2x+2)e^x\) est primitive de \(x^2e^x\)
1\(F'(x) = (2x-2)e^x + (x^2-2x+2)e^x = e^x(2x-2+x^2-2x+2) = x^2e^x = f(x)\) ✓
2\(\int_0^1 x^2e^x\,dx = [F(x)]_0^1 = F(1)-F(0) = (1-2+2)e-(0-0+2) = e-2\)
✅ F'(x)=x²eˣ · Intégrale = e-2