→ Vecteurs dans l'espace
Opérations sur les vecteurs
- \(\vec{u} = (x,y,z)\) dans un repère orthonormé
- \(\vec{u}+\vec{v} = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)\)
- \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
- \(\overrightarrow{AB} = B - A = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\)
\(\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
Produit vectoriel
- \(\vec{u}\times\vec{v} = (y_1z_2-z_1y_2,\; z_1x_2-x_1z_2,\; x_1y_2-y_1x_2)\)
- \(\vec{u}\times\vec{v} \perp \vec{u}\) et \(\vec{u}\times\vec{v} \perp \vec{v}\)
- \(\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta\)
- Norme = aire du parallélogramme
Vecteur normal à un plan
✈️ Plans dans l'espace
Équation d'un plan
- Forme générale : \(ax+by+cz+d=0\)
- \(\vec{n}=(a,b,c)\) est le vecteur normal
- Plan passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de normale \(\vec{n}\) :
\(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)
Distance de \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) :
\(d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Trouver l'équation d'un plan
Plans particuliers
- \(z=0\) : plan \(xOy\) (horizontal)
- \(x=0\) : plan \(yOz\) · \(y=0\) : plan \(xOz\)
- \(P_1 \parallel P_2\) ↔ même vecteur normal
- \(P_1 \perp P_2\) ↔ \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\)
Pièges fréquents
📏 Droites dans l'espace
Représentation paramétrique
- Droite passant par \(A\) de direction \(\vec{u}=(l,m,n)\) :
- \(\begin{cases}x=x_A+lt\\y=y_A+mt\\z=z_A+nt\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\)
- Deux droites parallèles ↔ vecteurs directeurs colinéaires
- Droite perpendiculaire à un plan ↔ \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\)
Intersection droite-plan
Intersection de deux plans
Pièges fréquents
✏️ Exemple type BAC — Plan + Droite
Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+3z-6=0\). Droite \(\mathcal{D}: (x,y,z)=(1+2t, 2-t, 1+t)\).
Intersection : \(2(1+2t)-(2-t)+3(1+t)-6=0\) → \(2+4t-2+t+3+3t-6=0\) → \(8t-3=0\) → \(t=3/8\)
Point : \(x=1+6/8=7/4\), \(y=2-3/8=13/8\), \(z=1+3/8=11/8\) → \(I(7/4,\,13/8,\,11/8)\)
📋 Formules clés
| Objet | Formule |
|---|---|
| Distance AB | \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) |
| Milieu AB | \(I = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}, \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Angle entre deux droites | \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\) |
| Angle droite-plan | \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\|\vec{n}\|}\) |
| Angle entre deux plans | \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|}\) |
| Pied de la perpendiculaire de M au plan | Droite par M de direction \(\vec{n}\), intersection avec le plan |
4 séries · 10 exercices · Niveau BAC
📗 Série 1 — Vecteurs et produits scalaire/vectoriel
Exercice 1★ Facile
Soient \(\vec{u}=(2,-1,3)\) et \(\vec{v}=(-1,4,1)\).
a) Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\), \(2\vec{u}-\vec{v}\). b) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). c) Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
a) Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\), \(2\vec{u}-\vec{v}\). b) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). c) Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
~5 lignes
Exercice 2★ Facile
Les vecteurs \(\vec{u}=(1,2,-1)\) et \(\vec{v}=(2,a,1)\) sont-ils perpendiculaires ? Pour quelle valeur de \(a\) le sont-ils ?
~4 lignes
Exercice 3★ Facile
Calculer \(\overrightarrow{AB}\) avec \(A(1,2,-1)\) et \(B(3,0,4)\). Puis calculer la distance AB.
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Calculer l'angle entre \(\vec{u}=(1,0,1)\) et \(\vec{v}=(0,1,1)\).
~4 lignes · produit scalaire
Exercice 5★★ Intermédiaire
Calculer le produit vectoriel \(\vec{u}\times\vec{v}\) avec \(\vec{u}=(1,2,0)\) et \(\vec{v}=(0,1,3)\). Vérifier que le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs.
~5 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Montrer que les points \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\) et \(C(0,0,1)\) forment un triangle équilatéral.
~5 lignes · calculer AB, BC, AC
Exercice 7★★ Intermédiaire
Soient \(A(2,1,3)\), \(B(4,2,1)\), \(C(1,3,2)\). Calculer l'aire du triangle ABC. (utiliser le produit vectoriel)
~6 lignes · Aire = ½‖AB×AC‖
Exercice 8★★★ Difficile
Montrer que les vecteurs \(\vec{i}=(1,0,0)\), \(\vec{j}=(0,1,0)\), \(\vec{k}=(0,0,1)\) vérifient \(\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}\), \(\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}\) et \(\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}\).
~5 lignes
Exercice 9★★★ Difficile
Montrer que quatre points \(A, B, C, D\) sont coplanaires si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = 0\).
Application : les points \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\), \(D(1,1,1)\) sont-ils coplanaires ?
Application : les points \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\), \(D(1,1,1)\) sont-ils coplanaires ?
~7 lignes
Exercice 10★★★★ Expert
Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\) avec \(O=(0,0,0)\), \(A=(1,0,0)\), \(B=(0,2,0)\), \(C=(0,0,3)\).
\(V = \frac{1}{6}|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}|\)
\(V = \frac{1}{6}|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}|\)
~6 lignes
📘 Série 2 — Équations de plans
Exercice 1★ Facile
Trouver l'équation du plan passant par \(A(1,2,3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}=(2,-1,1)\).
~3 lignes
Exercice 2★ Facile
Le point \(M(2,-1,4)\) appartient-il au plan \(3x-2y+z-12=0\) ?
~2 lignes · substitution
Exercice 3★★ Intermédiaire
Trouver l'équation du plan passant par les points \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) et \(C(0,0,3)\).
~5 lignes · méthode des vecteurs
Exercice 4★★ Intermédiaire
Calculer la distance du point \(P(1,2,-1)\) au plan \(2x-y+2z+1=0\).
~3 lignes · formule distance
Exercice 5★★ Intermédiaire
Les plans \(P_1: 2x-y+3z-1=0\) et \(P_2: 4x-2y+6z+3=0\) sont-ils parallèles, confondus ou sécants ?
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Trouver l'angle entre les plans \(x+y+z=1\) et \(x-y+z=2\).
~4 lignes · angle entre normales
Exercice 7★★★ Difficile
Trouver le plan passant par \(A(1,1,1)\) et perpendiculaire aux plans \(x+2y-z=0\) et \(2x-y+z=0\).
~6 lignes · produit vectoriel des normales
Exercice 8★★★ Difficile
Trouver le plan médiateur du segment \([AB]\) avec \(A(1,2,3)\) et \(B(3,0,-1)\).
(Plan perpendiculaire à \([AB]\) passant par son milieu.)
(Plan perpendiculaire à \([AB]\) passant par son milieu.)
~5 lignes
Exercice 9★★★★ Expert
Trouver le pied \(H\) de la perpendiculaire abaissée de \(M(3,1,2)\) sur le plan \(x+2y-2z+4=0\). Calculer la distance \(MH\).
~7 lignes · droite par M de direction n
Exercice 10★★★★ Expert
Trouver les plans équidistants du point \(A(1,0,0)\) et du plan \(P: x+y+z=6\). Il y a deux solutions.
~7 lignes · distance point-plan
📙 Série 3 — Droites dans l'espace
Exercice 1★ Facile
Écrire la représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1,2,-1)\) de direction \(\vec{u}=(3,-1,2)\).
~3 lignes
Exercice 2★ Facile
Trouver l'intersection de la droite \(\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=2-t\end{cases}\) et du plan \(x-y+2z=7\).
~4 lignes · substitution
Exercice 3★★ Intermédiaire
Trouver l'intersection des plans \(P_1: x+y+z=1\) et \(P_2: x-y+2z=3\). Donner la droite sous forme paramétrique.
~6 lignes · système 2 équations
Exercice 4★★ Intermédiaire
La droite \(\mathcal{D}: (x,y,z)=(2+t, 1-t, 3+2t)\) est-elle parallèle au plan \(2x+2y-z+1=0\) ?
~4 lignes · u·n=0 ?
Exercice 5★★ Intermédiaire
Vérifier que la droite passant par \(A(1,2,3)\) et \(B(3,1,4)\) est perpendiculaire au plan \(2x-y+z=0\).
~4 lignes · AB colinéaire à n
Exercice 6★★★ Difficile
Trouver l'angle entre la droite \(\mathcal{D}: (x,y,z)=(1+t, 2t, -1+3t)\) et le plan \(P: x+2y-z=0\).
~5 lignes · sin α = |u·n|/(‖u‖‖n‖)
Exercice 7★★★ Difficile
Les droites \(\mathcal{D}_1\) (par \(A(1,0,1)\) de direction \((1,1,0)\)) et \(\mathcal{D}_2\) (par \(B(0,1,0)\) de direction \((0,1,1)\)) sont-elles sécantes, parallèles ou gauches ?
~6 lignes · système en t et s
Exercice 8★★★ Difficile
Trouver la droite perpendiculaire commune à deux droites gauches \(\mathcal{D}_1\) (par \(A(0,0,0)\) de direction \(\vec{i}=(1,0,0)\)) et \(\mathcal{D}_2\) (par \(B(1,1,0)\) de direction \(\vec{j}=(0,1,0)\)).
~7 lignes · produit vectoriel
Exercice 9★★★★ Expert
Étant donnés \(A(0,0,0)\) et \(B(1,1,1)\), trouver le plan symétrique du plan \(x=0\) par rapport à la droite \(AB\).
~8 lignes
Exercice 10★★★★ Expert
Trouver l'image du point \(M(2,1,3)\) par la symétrie par rapport au plan \(P: x+y+z=6\).
~7 lignes · pied H + symétrique
📕 Série 4 — Sujets type BAC
Exercice 1 — BACNiveau BAC
(6 pts) On donne les points \(A(2,1,0)\), \(B(1,3,1)\), \(C(0,2,3)\) et \(D(3,0,-1)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\). (1 pt)
2. Vérifier que \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \(ABC\). (1 pt)
3. Trouver l'équation du plan \(ABC\). (2 pts)
4. Calculer la distance de \(D\) au plan \(ABC\). (2 pts)
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\). (1 pt)
2. Vérifier que \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \(ABC\). (1 pt)
3. Trouver l'équation du plan \(ABC\). (2 pts)
4. Calculer la distance de \(D\) au plan \(ABC\). (2 pts)
~11 lignes
Exercice 2 — BACNiveau BAC
(5 pts) On considère le plan \(P: 3x-y+2z-6=0\) et la droite \(\mathcal{D}: \begin{cases}x=1+3t\\y=2-t\\z=t\end{cases}\).
1. Montrer que \(\mathcal{D}\) est perpendiculaire à \(P\). (2 pts)
2. Trouver le point \(I = \mathcal{D}\cap P\). (2 pts)
3. Calculer la distance du point \(A(1,2,0)\) au plan \(P\). (1 pt)
1. Montrer que \(\mathcal{D}\) est perpendiculaire à \(P\). (2 pts)
2. Trouver le point \(I = \mathcal{D}\cap P\). (2 pts)
3. Calculer la distance du point \(A(1,2,0)\) au plan \(P\). (1 pt)
~10 lignes
Exercice 3 — BACNiveau BAC
(5 pts) ABCDA'B'C'D' est un cube de côté 1. A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A'=(0,0,1), B'=(1,0,1), C'=(1,1,1), D'=(0,1,1).
1. Écrire l'équation du plan diagonalACC'A'. (2 pts)
2. Calculer l'angle entre la grande diagonale \([AC']\) et la face \(ABCD\). (3 pts)
1. Écrire l'équation du plan diagonalACC'A'. (2 pts)
2. Calculer l'angle entre la grande diagonale \([AC']\) et la face \(ABCD\). (3 pts)
~10 lignes
Exercice 4 — BACNiveau BAC
(5 pts) On donne les plans \(P_1: 2x-y+z-3=0\), \(P_2: x+y-z+1=0\).
1. Montrer que \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants. Trouver leur droite d'intersection \(\mathcal{D}\). (3 pts)
2. Trouver le plan contenant \(\mathcal{D}\) et le point \(M(0,0,2)\). (2 pts)
1. Montrer que \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants. Trouver leur droite d'intersection \(\mathcal{D}\). (3 pts)
2. Trouver le plan contenant \(\mathcal{D}\) et le point \(M(0,0,2)\). (2 pts)
~10 lignes
Exercice 5 — BACNiveau BAC
(4 pts) Un satellite orbite à 400 km d'altitude. La Terre est modélisée par une sphère de rayon 6371 km centrée en O. Calculer la distance visible maximale depuis la station spatiale (distance tangente).
~7 lignes · Pythagore 3D
Exercice 6 — BACNiveau BAC
(4 pts) Une pyramide régulière \(SABCD\) a une base carrée de côté 4 et une hauteur de 6. Trouver l'angle entre une face latérale et la base.
~8 lignes · repère bien choisi
Exercice 7 — BACNiveau BAC
(4 pts) Trouver le symétrique du point \(A(1,2,3)\) par rapport au plan \(P: x+y-z+2=0\).
~8 lignes · pied + symétrique
Exercice 8 — BACNiveau BAC
(3 pts) Les droites \(\mathcal{D}_1: \begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=3+2t\end{cases}\) et \(\mathcal{D}_2: \begin{cases}x=4+s\\y=2s\\z=1+s\end{cases}\) sont-elles coplanaires ? Si oui, trouver le plan qui les contient.
~8 lignes
Exercice 9 — BAC★★★★ Expert
(6 pts) Un plan \(P\) passe par \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\).
1. Trouver l'équation de \(P\). (2 pts)
2. Trouver le point de \(P\) le plus proche de l'origine. (3 pts — pied de perpendiculaire)
3. Calculer la distance de l'origine à \(P\) et vérifier avec la formule directe. (1 pt)
1. Trouver l'équation de \(P\). (2 pts)
2. Trouver le point de \(P\) le plus proche de l'origine. (3 pts — pied de perpendiculaire)
3. Calculer la distance de l'origine à \(P\) et vérifier avec la formule directe. (1 pt)
~11 lignes
Exercice 10 — BAC★★★★ Synthèse
(7 pts — synthèse) Dans un repère orthonormé, soient \(A(1,1,0)\), \(B(2,0,1)\), \(C(0,2,1)\) et \(D(1,1,3)\).
1. Vérifier que \(ABCD\) est un tétraèdre (4 points non coplanaires). (1 pt)
2. Calculer le volume du tétraèdre. (2 pts)
3. Trouver le plan \(P\) passant par \(ABC\). (2 pts)
4. Calculer la hauteur depuis \(D\) à la face \(ABC\). (2 pts)
1. Vérifier que \(ABCD\) est un tétraèdre (4 points non coplanaires). (1 pt)
2. Calculer le volume du tétraèdre. (2 pts)
3. Trouver le plan \(P\) passant par \(ABC\). (2 pts)
4. Calculer la hauteur depuis \(D\) à la face \(ABC\). (2 pts)
~12 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · u=(2,-1,3), v=(-1,4,1)
a\(\vec{u}+\vec{v}=(1,3,4)\) · \(2\vec{u}-\vec{v}=(5,-6,5)\)
b\(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times(-1)+(-1)\times4+3\times1=-2-4+3=-3\)
c\(\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\) · \(\|\vec{v}\|=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
✅ u·v=-3 · ‖u‖=√14 · ‖v‖=3√2
Ex 5 · Produit vectoriel u=(1,2,0) × v=(0,1,3)
1\(\vec{u}\times\vec{v} = (y_1z_2-z_1y_2,\, z_1x_2-x_1z_2,\, x_1y_2-y_1x_2)\)
2\(= (2\times3-0\times1,\, 0\times0-1\times3,\, 1\times1-2\times0) = (6,-3,1)\)
3Vérif. : \((1,2,0)\cdot(6,-3,1)=6-6+0=0\) ✓ · \((0,1,3)\cdot(6,-3,1)=0-3+3=0\) ✓
✅ u×v = (6,-3,1)
Ex 10 · Volume tétraèdre OABC
1\(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = (1,0,0)\times(0,2,0) = (0\cdot0-0\cdot2,\, 0\cdot0-1\cdot0,\, 1\cdot2-0\cdot0) = (0,0,2)\)
2\((0,0,2)\cdot\overrightarrow{OC} = (0,0,2)\cdot(0,0,3) = 6\)
3\(V = \frac{1}{6}|6| = 1\)
✅ Volume = 1 (= 1/6 × 1 × 2 × 3 = parallélépipède/6)
Ex 3 · Plan par A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)
1\(\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)\)
2\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot3-0\cdot0,\,0\cdot(-1)-(-1)\cdot3,\,(-1)\cdot0-2\cdot(-1))=(6,3,2)\)
3Plan passant par A(1,0,0) : \(6(x-1)+3(y-0)+2(z-0)=0\) → \(6x+3y+2z=6\)
4Vérif. B : \(6\cdot0+3\cdot2+2\cdot0=6\) ✓ · C : \(6\cdot0+3\cdot0+2\cdot3=6\) ✓
✅ 6x + 3y + 2z = 6 (ou x + y/2 + z/3 = 1 : intercepts)
Ex 4 · Distance P(1,2,-1) au plan 2x-y+2z+1=0
1\(d = \frac{|2\cdot1-1\cdot2+2\cdot(-1)+1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2-2+1|}{3} = \frac{|-1|}{3} = \frac{1}{3}\)
✅ Distance = 1/3
Ex 9 · Pied H de M(3,1,2) sur plan x+2y-2z+4=0
1Droite par M de direction \(\vec{n}=(1,2,-2)\) : \((x,y,z)=(3+t,1+2t,2-2t)\)
2Substitution : \((3+t)+2(1+2t)-2(2-2t)+4=0\) → \(3+t+2+4t-4+4t+4=0\) → \(9t+5=0\) → \(t=-5/9\)
3\(H=(3-5/9,\,1-10/9,\,2+10/9)=(22/9,\,-1/9,\,28/9)\)
4\(MH=\|(-5/9,-10/9,10/9)\|=\frac{5}{9}\sqrt{1+4+4}=\frac{5}{9}\cdot3=\frac{5}{3}\)
✅ H=(22/9,-1/9,28/9) · d(M,P) = 5/3
Ex 2 · Intersection droite et plan x-y+2z=7
1Substituer : \((1+2t)-t+2(2-t)=7\) → \(1+2t-t+4-2t=7\) → \(-t+5=7\) → \(t=-2\)
2\(x=1-4=-3\), \(y=-2\), \(z=2+2=4\) → point \((-3,-2,4)\)
✅ Point d'intersection : (-3, -2, 4)
Ex 7 · D₁ et D₂ gauches, perpendiculaire commune
1D₁ : direction \((1,0,0)\), par O. D₂ : direction \((0,1,0)\), par B(1,1,0).
2Vecteur de la perp. commune : \(\vec{u_1}\times\vec{u_2}=(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)\) = axe z
3Point sur D₁ : \((s,0,0)\). Point sur D₂ : \((1,t+1,0)\). Vecteur reliant = \((1-s,t+1,0)\) doit être // à (0,0,1) → impossible (composante z=0) → droites gauches ✓
4Perp. commune : passe par (1,0,0) de direction (0,0,1) : \((x,y,z)=(1,0,t)\)
✅ Droites gauches · Perp. commune : (x,y,z)=(1,0,t)
Ex 1 BAC · Plan ABC et distance de D
1\(\overrightarrow{AB}=(-1,2,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2,1,3)\)
2\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot3-1\cdot1,\,1\cdot(-2)-(-1)\cdot3,\,(-1)\cdot1-2\cdot(-2))=(5,1,3)\)
3Plan par A(2,1,0) : \(5(x-2)+(y-1)+3(z-0)=0\) → \(5x+y+3z-11=0\)
4\(d(D,P)=\frac{|5\cdot3+0-1+3\cdot(-1)-11|}{\sqrt{25+1+9}}=\frac{|15-1-3-11|}{\sqrt{35}}=\frac{0}{\sqrt{35}}=0\) → D est dans le plan !
✅ Plan : 5x+y+3z=11 · D est dans le plan (distance=0)
Ex 2 BAC · D⊥P, intersection, distance
1Direction de D : \(\vec{u}=(3,-1,2)\). Normale de P : \(\vec{n}=(3,-1,2)\). \(\vec{u}=\vec{n}\) → D⊥P ✓
2Substituer : \(3(1+3t)-(2-t)+2t-6=0\) → \(3+9t-2+t+2t-6=0\) → \(12t-5=0\) → \(t=5/12\)
3\(I=(1+5/4,\,2-5/12,\,5/12)=(9/4,\,19/12,\,5/12)\)
4\(d(A,P)=\frac{|3\cdot1-2+0-6|}{\sqrt{9+1+4}}=\frac{5}{\sqrt{14}}\approx1{,}34\)
✅ D⊥P ✓ · I=(9/4,19/12,5/12) · d=5/√14≈1,34
Ex 7 BAC · Symétrique de A(1,2,3) par rapport au plan x+y-z+2=0
1Droite par A de direction \(\vec{n}=(1,1,-1)\) : \((x,y,z)=(1+t,2+t,3-t)\)
2Pied H : \((1+t)+(2+t)-(3-t)+2=0\) → \(1+3t+2=0\) → \(t=-1\)
3\(H=(0,1,4)\). Symétrique \(A'=2H-A=(2\cdot0-1,\,2\cdot1-2,\,2\cdot4-3)=(-1,0,5)\)
✅ A' = (-1, 0, 5)