MathsOtop — Pack BAC · Probabilités

🔀 Probabilités conditionnelles

Définition

Probabilité de A sachant B (si P(B) > 0)
Notation : P(A|B) ou P_B(A)
A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B)
Indépendance ⇒ P(A|B) = P(A)

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)

\( P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \)

Formule de Bayes

\( P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)} \)
Utile pour "inverser" une probabilité conditionnelle
Très présente en BAC (tests médicaux, qualité...)

Formule des probabilités totales

(B₁,...,B_n) partition de Ω : ∑P(B_i)=1, incompatibles 2 à 2
Cas courant : partition en B et B̄

\( P(A) = \sum_{i} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i) \)

\( P(A) = P(A \mid B)\cdot P(B) + P(A \mid \bar{B})\cdot P(\bar{B}) \)

Utiliser un arbre de probabilités

Probabilité d'un chemin = produit des branches

P(A) = somme des chemins aboutissant à A

Bayes = "remonter" l'arbre de droite à gauche

Pièges

P(A|B) ≠ P(B|A) — erreur très fréquente !

Indépendance ≠ incompatibilité

Vérifier que (B_i) est bien une partition de Ω

✏️ Exemple BAC — Test médical

P(malade)=0,01 · P(+|malade)=0,95 · P(+|sain)=0,05
P(+) = 0,95×0,01 + 0,05×0,99 = 0,059
P(malade|+) = (0,95×0,01) / 0,059 ≈ 0,161 — seulement 16% ! (paradoxe de Bayes)

🎲 Loi binomiale B(n, p)

Conditions d'application

n épreuves identiques et indépendantes
Chaque épreuve : succès (prob. p) ou échec
X = nombre de succès → X ~ B(n,p)

\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)

\( \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \)

\( E(X) = np \quad ; \quad V(X) = np(1-p) \)

\( \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} \)

Calculer P(X ≤ k) à la calculatrice

Casio : Stat → Dist → Binom → Bcd

TI : 2nd VARS → binomcdf(n, p, k)

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a−1)

Pièges

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1), pas −P(X ≤ k)

C(n,0) = C(n,n) = 1

Vérifier l'indépendance des épreuves

✏️ Exemple

8% de défauts, prélèvement de 20. X ~ B(20 ; 0,08)
E(X) = 1,6 · P(X=2) = C(20,2)×0,08²×0,92¹⁸ ≈ 0,271

📏 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé général

X variable aléatoire, E(X)=μ, V(X)=σ²
Pour tout réel ε > 0 :

\( P\bigl(|X - \mu| \geq \varepsilon\bigr) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \)

Équiv. : \( P\bigl(|X - \mu| \leq \varepsilon\bigr) \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \)

Application à la fréquence empirique

F_n = X/n avec X ~ B(n,p)
E(F_n) = p · V(F_n) = p(1−p)/n
On majore p(1−p) par 1/4 (max en p=1/2)

\( P\bigl(|F_n - p| \geq \varepsilon\bigr) \leq \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \dfrac{1}{4n\varepsilon^2} \)

Loi des grands nombres

Quand n → +∞, la borne tend vers 0
La fréquence F_n converge vers p
Tchebychev quantifie cette convergence

Trouver n pour une précision donnée

On veut P(|F_n−p| ≥ ε) ≤ α

Condition : 1/(4nε²) ≤ α

Donc n ≥ 1/(4αε²)

Pièges

Tchebychev donne une borne supérieure (pas exacte)

Ne pas oublier de majorer p(1−p) par 1/4

σ²/ε² doit être ≤ 1 pour être utile

✏️ Application BAC

P(|F_n−0,5| ≥ 0,05) ≤ 0,02
1/(4n×0,0025) ≤ 0,02 → n ≥ 5000

📊 Intervalle de confiance à 95%

Définition

f = fréquence observée (échantillon taille n)
IC à 95% simplifié : [f − 1/√n ; f + 1/√n]
Marge d'erreur : e = 1/√n
Pour marge ≤ e : n ≥ 1/e²

IC à 95% : \( \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;\; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] \)

Test d'hypothèse (seuil 5%)

H₀ : p = p₀ (hypothèse nulle)
Calculer IC sous H₀
Si f ∉ IC → rejeter H₀ au seuil 5%
Conclure en langage courant

Pièges

IC à 95% ≠ "vraie proba dans IC avec 95% de chance"

Rejeter H₀ ≠ prouver H₁ avec certitude

La formule 1/√n est une approximation (valable si n ≥ 30)

4 séries · 10 exercices chacune · Niveau BAC

📗 Série 1 — Loi binomiale

Exercice 1★ Facile

Un dé équilibré est lancé 10 fois. X = nombre de 6 obtenus.
a) Quelle est la loi de X ? b) Calculer E(X) et σ(X). c) Calculer P(X=2).

~5 lignes

Exercice 2★ Facile

Calculer \(\binom{6}{2}\), \(\binom{10}{3}\), \(\binom{7}{7}\) et \(\binom{5}{0}\).

~4 calculs

Exercice 3★ Facile

Un QCM comporte 8 questions, 4 réponses dont une seule correcte. On répond au hasard. Calculer la probabilité d'avoir exactement 3 bonnes réponses.

~4 lignes

Exercice 4★★ Intermédiaire

Une pièce truquée tombe sur face avec probabilité 0,6. On la lance 12 fois.
1. Calculer P(X ≥ 8). 2. Calculer P(4 ≤ X ≤ 9).

~5 lignes · calculatrice

Exercice 5★★ Intermédiaire

Un médicament est efficace dans 75% des cas. On l'administre à 20 patients.
1. Calculer la probabilité qu'il soit efficace pour au moins 16 patients.
2. Quel est le nombre moyen de patients guéris ?

~5 lignes

Exercice 6★★ Intermédiaire

Trouver le plus petit entier n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,99 où X ~ B(n ; 0,1).

~5 lignes · utiliser P(X=0)

Exercice 7★★ Intermédiaire

Dans une production, 5% des objets sont défectueux. On tire 100 objets.
1. Vérifier les conditions. 2. Calculer P(X ≤ 8). 3. Calculer E(X) et σ(X).

~5 lignes

Exercice 8★★★ Difficile

Montrer que si X ~ B(n,p), alors \(\sum_{k=0}^{n} P(X=k) = 1\) en utilisant le binôme de Newton \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\).

~5 lignes · démonstration

Exercice 9★★★ Difficile

Montrer que si X ~ B(n,p), alors E(X) = np en utilisant \(k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}\).

~6 lignes

Exercice 10★★★★ Expert

Un capital C₀ est placé à 3% par an. En modélisant X = nombre d'années avec taux favorable dans n placements alternés, montrer que la modélisation binomiale s'applique. Calculer le nombre d'années pour que P(X ≥ 1) ≥ 0,99.

~6 lignes

📘 Série 2 — Probabilités conditionnelles, totales et Bayes

Exercice 1★ Facile

On lance deux dés. A = "somme = 8", B = "premier dé donne 3".
a) Calculer P(A). b) Calculer P(B). c) Calculer P(A|B).

~5 lignes · tableau 6x6

Exercice 2★ Facile

Dans une classe : 60% sont des filles. 40% des filles et 30% des garçons font du sport.
1. Calculer P(sport) par la formule des probabilités totales.
2. Sachant qu'un élève fait du sport, calculer P(fille|sport).

~6 lignes · arbre

Exercice 3★ Facile

A et B tels que P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2.
a) Calculer P(A|B). b) Calculer P(B|A). c) A et B sont-ils indépendants ?

~4 lignes

Exercice 4★★ Intermédiaire

Un sac contient 3 boules rouges et 5 bleues. Tirage de 2 boules sans remise.
1. Construire l'arbre et calculer P(2 rouges).
2. Sachant que la 2e boule est rouge, calculer P(1re rouge | 2e rouge).

~6 lignes · Bayes

Exercice 5★★ Intermédiaire

Test de dépistage : sensibilité 98% (P(+|malade)=0,98), spécificité 95% (P(−|sain)=0,95). Prévalence 2%.
1. Calculer P(test +). 2. Calculer P(malade | test +).

~6 lignes · paradoxe des faux positifs

Exercice 6★★ Intermédiaire

Urne A : 2 blanches + 3 noires. Urne B : 4 blanches + 1 noire. On choisit une urne au hasard (prob. 1/2), puis on tire une boule.
1. P(boule blanche) ? 2. P(urne A | boule blanche) ?

~6 lignes

Exercice 7★★ Intermédiaire

Montrer que si A et B sont indépendants, alors A et B̄ le sont aussi.

~5 lignes · démonstration

Exercice 8★★★ Difficile

Trois machines M1, M2, M3 produisent 50%, 30%, 20% avec taux de défauts 2%, 3%, 5%.
1. P(pièce défectueuse). 2. P(vient de M3 | défectueuse).

~6 lignes · 3 branches

Exercice 9★★★ Difficile

Démontrer la formule de Bayes : \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}\) à partir de la définition de la probabilité conditionnelle.

~5 lignes · démonstration

Exercice 10★★★★ Expert

Paradoxe de Monty Hall : 3 portes (1 voiture, 2 chèvres). Vous choisissez la porte 1. L'animateur ouvre la porte 3 (chèvre). Vaut-il mieux rester ou changer pour la porte 2 ? Calculer rigoureusement par Bayes.

~8 lignes · arbre + Bayes

📙 Série 3 — Bienaymé-Tchebychev & Intervalles de confiance

Exercice 1★ Facile

X variable aléatoire avec E(X)=10, V(X)=9.
a) Majorer P(|X−10| ≥ 3) par Bienaymé-Tchebychev.
b) Minorer P(7 ≤ X ≤ 13).

~4 lignes

Exercice 2★ Facile

X ~ B(100 ; 0,3). Calculer E(X) et V(X). En déduire une majoration de P(|X−30| ≥ 5) par Bienaymé-Tchebychev.

~4 lignes

Exercice 3★★ Intermédiaire

On lance n fois une pièce. Combien de lancers faut-il pour garantir P(|F_n−0,5| ≥ 0,05) ≤ 0,02 ?

~4 lignes · n ≥ 1/(4αε²)

Exercice 4★★ Intermédiaire

Dans un sondage de 400 personnes, 52% ont répondu "oui". Calculer l'intervalle de confiance à 95%.

~3 lignes · formule IC

Exercice 5★★ Intermédiaire

Quelle taille d'échantillon pour une marge d'erreur inférieure à 2% ?

~3 lignes · n ≥ 1/e²

Exercice 6★★ Intermédiaire

Un fabricant affirme que 30% de ses clients sont satisfaits. Un sondage de 500 personnes donne 40% de satisfaits. Peut-on rejeter l'affirmation au seuil 5% ?

~5 lignes · Test H0

Exercice 7★★ Intermédiaire

Un dé est lancé 180 fois. On obtient 40 fois le 6. Au seuil 5%, peut-on affirmer que le dé est pipé ? (H0 : p = 1/6)

~5 lignes

Exercice 8★★★ Difficile

Montrer par Bienaymé-Tchebychev que \(P\!\left(|F_n - p| \geq \varepsilon\right) \leq \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\) où F_n = X/n et X ~ B(n,p). En déduire la loi des grands nombres.

~6 lignes · démonstration

Exercice 9★★★ Difficile

On mesure n fois une grandeur : chaque mesure X_i vérifie E(X_i)=μ et V(X_i)=σ².
1. Calculer E(X̄_n) et V(X̄_n) où X̄_n = (1/n)∑X_i.
2. En déduire par Bienaymé-Tchebychev un IC pour μ.

~7 lignes

Exercice 10★★★★ Expert

On effectue n lancers d'une pièce. Déterminer n pour que P(|F_n−p| ≥ ε) ≤ α pour tout p ∈ [0,1]. Montrer que n ≥ 1/(4αε²) suffit et appliquer pour ε=0,01 et α=0,01.

~7 lignes

📕 Série 4 — Sujets type BAC

Exercice 1 — BACNiveau BAC

(6 pts) Chaîne de production : 3% défectueux. Prélèvement de 50 pièces. X = nb défectueux.
1. Loi de X, E(X), σ(X). (2 pts)
2. Calculer P(X=0) et P(X ≤ 2). (2 pts)
3. Seuil d'alerte : à partir de combien de défauts P(X ≥ k) ≤ 1% ? (2 pts)

~10 lignes

Exercice 2 — BACNiveau BAC

(5 pts) Test de dépistage : P(malade)=0,02, P(+|malade)=0,97, P(+|sain)=0,04.
1. Calculer P(test +). (2 pts)
2. Calculer P(malade | test +). (2 pts)
3. Ce test est-il fiable ? Commenter. (1 pt)

~9 lignes

Exercice 3 — BACNiveau BAC

(5 pts) Sondage de 625 personnes, 44% favorable à une réforme.
1. IC à 95% simplifié. (1,5 pts)
2. Un politique affirme "la majorité est favorable". Peut-on le contredire au seuil 5% ? (2 pts)
3. Échantillon pour marge ≤ 1%. (1,5 pts)

~8 lignes

Exercice 4 — BACNiveau BAC

(5 pts) X ~ B(n, p), F_n = X/n.
1. Calculer E(F_n) et V(F_n). (2 pts)
2. Montrer par Bienaymé-Tchebychev : P(|F_n−p| ≥ ε) ≤ p(1−p)/(nε²). (2 pts)
3. En déduire la loi des grands nombres. (1 pt)

~9 lignes

Exercice 5 — BACNiveau BAC

(4 pts) Deux usines A et B produisent 60% et 40% des pièces. Taux de défauts : 1% pour A, 3% pour B.
1. P(pièce défectueuse). (1,5 pts)
2. P(vient de B | défectueuse). (1,5 pts)
3. On prélève 100 pièces de B. P(au moins 2 défectueuses). (1 pt)

~8 lignes

Exercice 6 — BACNiveau BAC

(4 pts) Vaccin censé guérir 70% (H0). Sur 80 patients traités, 48 sont guéris.
1. IC à 95% sous H0. (2 pts)
2. Tester H0 au seuil 5%. Conclure. (2 pts)

~7 lignes

Exercice 7 — BACNiveau BAC

(4 pts) Un joueur gagne 3 euros si un dé donne 6, perd 1 euro sinon. Il joue 60 fois. X = gain total.
1. Calculer E(X) et V(X). (2 pts)
2. Encadrer P(X ≥ 0) par Bienaymé-Tchebychev. (2 pts)

~7 lignes

Exercice 8 — BACNiveau BAC

(3 pts) Dé lancé 180 fois, 40 fois le 6. Au seuil 5%, le dé est-il pipé ? (H0 : p=1/6)

~5 lignes

Exercice 9 — BAC★★★★ Expert

(6 pts) Urne contenant N boules dont M rouges. Tirage avec remise de n boules, on obtient k rouges.
1. Loi de k et E(k/n). (1 pt)
2. Majorer P(|k/n − M/N| ≥ ε) par Bienaymé-Tchebychev. (3 pts)
3. Déterminer n pour avoir marge ≤ 1% avec prob ≥ 99%. (2 pts)

~10 lignes

Exercice 10 — BAC★★★★ Synthèse

(7 pts) Étude : p0=35% nationalement. Sondage local de 900 : f=38%.
1. IC à 95% pour la proportion locale. (2 pts)
2. Différence significative avec la nationale ? (2 pts)
3. Majorer P(|F900−0,35| ≥ 0,03) par Bienaymé-Tchebychev. (3 pts)

~10 lignes

Correction complète · Téléchargeable

Ex 1 — Dé 10 fois, X = nb de 6

aX ~ B(10 ; 1/6)

bE(X) = 10/6 ≈ 1,67 · σ(X) = √(10 × 1/6 × 5/6) ≈ 1,18

cP(X=2) = C(10,2) × (1/6)² × (5/6)⁸ ≈ 0,291

X ~ B(10;1/6) · E=5/3 · P(X=2) ≈ 0,291

Ex 2 — Combinaisons

1C(6,2) = 15 · C(10,3) = 120 · C(7,7) = 1 · C(5,0) = 1

15 · 120 · 1 · 1

Ex 6 — Plus petit n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,99

1P(X ≥ 1) = 1 − P(X=0) = 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99

20,9ⁿ ≤ 0,01 → n·ln(0,9) ≤ ln(0,01) → n ≥ ln(0,01)/ln(0,9) ≈ 43,8

n = 44

Ex 2 — Classe sport (prob. totales + Bayes)

1P(sport) = 0,4×0,6 + 0,3×0,4 = 0,24 + 0,12 = 0,36

2P(fille|sport) = 0,24/0,36 = 2/3 ≈ 0,667

P(sport)=0,36 · P(fille|sport)=2/3

Ex 5 — Test médical (paradoxe des faux positifs)

1P(+) = 0,98×0,02 + 0,05×0,98 = 0,0196 + 0,049 = 0,0686

2P(malade|+) = 0,0196/0,0686 ≈ 0,286 — seulement 28,6% !

P(+) ≈ 6,9% · P(malade|+) ≈ 28,6%

Ex 8 — Trois machines (prob. totales + Bayes)

1P(déf) = 0,02×0,5 + 0,03×0,3 + 0,05×0,2 = 0,010+0,009+0,010 = 0,029

2P(M3|déf) = (0,05×0,2)/0,029 = 0,010/0,029 ≈ 0,345

P(déf)=2,9% · P(M3|déf) ≈ 34,5%

Ex 10 — Paradoxe de Monty Hall

1Soit Vi = "voiture derrière porte i". P(V1)=P(V2)=P(V3)=1/3

2P(ouvre 3|V1)=1/2 · P(ouvre 3|V2)=1 · P(ouvre 3|V3)=0

3P(V2|ouvre 3) = (1×1/3) / (1/2) = 2/3 > 1/3 = P(V1|ouvre 3)

Il vaut MIEUX changer : P(gagner en changeant) = 2/3

Ex 1 — Bienaymé-Tchebychev, E(X)=10, V(X)=9

aP(|X−10| ≥ 3) ≤ V(X)/3² = 9/9 = 1 (trivial) · Pour ε=6 : P(|X−10| ≥ 6) ≤ 9/36 = 1/4

bP(7 ≤ X ≤ 13) = P(|X−10| ≤ 3) ≥ 1 − 1 = 0 (trivial)

Pour ε=3 : borne triviale. Pour ε=6 : P(|X−10| ≥ 6) ≤ 1/4

Ex 3 — Nombre de lancers pour P(|Fn−0,5| ≥ 0,05) ≤ 0,02

11/(4n × 0,0025) ≤ 0,02 → n ≥ 1/(4 × 0,0025 × 0,02) = 5000

n ≥ 5000 lancers

Ex 4 — IC à 95% : sondage 400 pers., f=52%

1Marge = 1/√400 = 1/20 = 0,05 → IC = [0,47 ; 0,57]

IC = [47% ; 57%]

Ex 6 — Test : fabricant p=0,30, sondage f=0,40, n=500

1IC sous H0 : [0,30 − 1/√500 ; 0,30 + 1/√500] = [0,255 ; 0,345]

2f = 0,40 ∉ [0,255 ; 0,345] → on rejette H0 au seuil 5%

On rejette H0 : les 30% sont remis en cause

Ex 1 BAC — Contrôle qualité, 3% défectueux, n=50

1X ~ B(50 ; 0,03) · E=1,5 · σ = √(50×0,03×0,97) ≈ 1,21

2P(X=0) = 0,97⁵⁰ ≈ 0,218 · P(X ≤ 2) ≈ 0,811 (calculatrice)

3P(X ≥ 6) ≈ 0,005 < 1% → alerter à partir de 6 défauts

E=1,5 · P(X ≤ 2) ≈ 0,811 · Alerte à partir de 6

Ex 2 BAC — Test dépistage par Bayes

1P(+) = 0,97×0,02 + 0,04×0,98 = 0,0194 + 0,0392 = 0,0586

2P(malade|+) = 0,0194/0,0586 ≈ 0,331 — seulement 33% !

P(+) ≈ 5,9% · P(malade|+) ≈ 33%

Ex 4 BAC — Bienaymé-Tchebychev appliqué à Fn

1E(Fn) = p · V(Fn) = p(1−p)/n

2B-T : P(|Fn−p| ≥ ε) ≤ V(Fn)/ε² = p(1−p)/(nε²)

3Quand n → +∞ : p(1−p)/(nε²) → 0 → Fn converge vers p (loi des grands nombres)

Démonstration de la loi des grands nombres par Bienaymé-Tchebychev

Ex 10 BAC — Sondage végétarien p0=35%, n=900, f=38%

1IC = [0,38 − 1/√900 ; 0,38 + 1/√900] = [0,347 ; 0,413]

20,35 ∈ [0,347 ; 0,413] → pas de différence significative avec la nationale

3P(|F900 − 0,35| ≥ 0,03) ≤ 0,35×0,65/(900×0,0009) ≈ 0,2275/0,81 ≈ 0,281

IC=[34,7%;41,3%] · Pas de diff. · Borne Tchebychev ≈ 0,281

Probabilités

🔀 Probabilités conditionnelles

Définition

Formule de Bayes

Formule des probabilités totales

Utiliser un arbre de probabilités

Pièges

✏️ Exemple BAC — Test médical

🎲 Loi binomiale B(n, p)

Conditions d'application

Calculer P(X ≤ k) à la calculatrice

Pièges

✏️ Exemple

📏 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé général

Application à la fréquence empirique

Loi des grands nombres

Trouver n pour une précision donnée

Pièges

✏️ Application BAC

📊 Intervalle de confiance à 95%

Définition

Test d'hypothèse (seuil 5%)

Pièges

🎲 Probabilités & Loi normale — Aide-mémoire

🎲 Probabilités conditionnelles

📊 Loi binomiale B(n,p)

🔔 Loi normale N(μ,σ)

📏 Intervalle de confiance

📐 Visualisation interactive