∑ Suites arithmétiques & géométriques
| Suite arithmétique | Suite géométrique | |
|---|---|---|
| Définition | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = u_n \times q\) |
| Terme général | \(u_n = u_0 + nr\) ou \(u_n = u_p + (n-p)r\) | \(u_n = u_0 \times q^n\) ou \(u_n = u_p \times q^{n-p}\) |
| Somme des n+1 premiers termes | \(S = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\) | \(S = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q\neq1\)) |
| Monotonie | \(r>0\) croissante · \(r<0\) décroissante | \(q>1\) croissante · \(0 |
| Limite | \(\to +\infty\) si \(r>0\) · \(-\infty\) si \(r<0\) | \(\to 0\) si \(|q|<1\) · \(+\infty\) si \(q>1\) |
Formule somme géométrique
- \(1+q+q^2+\cdots+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
- Cas \(q=1\) : somme = \(n+1\)
- Si \(|q|<1\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}q^k = \dfrac{1}{1-q}\)
\(\sum_{k=0}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Pièges fréquents
✏️ Exemples
Arithm. : \(u_0=2, r=3\) → \(u_n=2+3n\) · \(S_{10}=\frac{11(u_0+u_{10})}{2}=\frac{11\times34}{2}=187\)
Géom. : \(u_0=1, q=2\) → \(u_n=2^n\) · \(S_{10}=\frac{1-2^{11}}{1-2}=2047\)
🔁 Suites par récurrence & convergence
Types de suites par récurrence
- \(u_{n+1} = f(u_n)\) — relation générale
- Points fixes : \(\ell\) tel que \(f(\ell) = \ell\)
- Suite monotone bornée → converge (théorème)
- Étude graphique : escalier/toile d'araignée
Démonstration par récurrence
Convergence — Théorèmes clés
- Th. monotone bornée : Suite croissante et majorée → converge
- Limite d'une suite récurrente : si \(u_n\to\ell\) alors \(\ell = f(\ell)\)
- Gendarmes : \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et \(u_n,w_n\to L\) → \(v_n\to L\)
- Suite géom. : \(|q|<1\) → \(q^n\to 0\) · \(q>1\) → \(+\infty\)
Suites adjacentes
- \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante
- \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\)
- \(v_n - u_n \to 0\)
- → les deux convergent vers la même limite \(\ell\)
Pièges fréquents
✏️ Exemples types BAC
Récurrence : \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}+1\), \(u_0=0\). Montrer \(u_n = 2(1-(1/2)^n)\).
Init : \(u_0 = 0 = 2(1-1) = 0\) ✓ · Hérédité : \(u_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot2(1-(\frac{1}{2})^n)+1=1-((\frac{1}{2})^{n+1})+1=2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\) ✓
Points fixes : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2}\) → \(\ell=\dfrac{\ell+3}{2}\) → \(2\ell=\ell+3\) → \(\ell=3\)
📋 Techniques de changement de suite
| Situation | Changement de variable | Résultat |
|---|---|---|
| \(u_{n+1} = au_n + b\) (\(a\neq1\)) | Poser \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell = b/(1-a)\) | \((v_n)\) géométrique de raison \(a\) |
| \(u_{n+1} = \dfrac{au_n+b}{cu_n+d}\) | Poser \(v_n = \dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\) (α,β points fixes) | \((v_n)\) géométrique |
| \(u_{n+1} = u_n^2\) | Poser \(v_n = \ln(u_n)\) | \((v_n)\) arithmétique |
| \(u_n > 0\) et \(u_{n+1}/u_n=q\) | Poser \(v_n = \ln(u_n)\) | \((v_n)\) arithmétique de raison \(\ln q\) |
4 séries · 10 exercices · Niveau BAC
📗 Série 1 — Suites arithmétiques & géométriques
Exercice 1★ Facile
La suite \((u_n)\) est arithmétique avec \(u_0 = 3\) et \(r = 5\).
a) Calculer \(u_1, u_2, u_{10}\). b) Trouver \(n\) tel que \(u_n = 53\).
a) Calculer \(u_1, u_2, u_{10}\). b) Trouver \(n\) tel que \(u_n = 53\).
~4 lignes
Exercice 2★ Facile
La suite \((v_n)\) est géométrique avec \(v_0 = 2\) et \(q = 3\).
a) Calculer \(v_1, v_2, v_5\). b) Trouver \(n\) tel que \(v_n > 1000\).
a) Calculer \(v_1, v_2, v_5\). b) Trouver \(n\) tel que \(v_n > 1000\).
~4 lignes
Exercice 3★ Facile
Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\).
~2 lignes · Somme arithm.
Exercice 4★ Facile
Calculer \(S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}\).
~2 lignes · Somme géom.
Exercice 5★★ Intermédiaire
La suite \((u_n)\) est arithmétique. On sait que \(u_3 = 10\) et \(u_7 = 22\).
Trouver la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\). Calculer \(u_{20}\).
Trouver la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\). Calculer \(u_{20}\).
~5 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
La suite \((v_n)\) est géométrique. On sait que \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\).
Trouver \(q\) et \(v_0\). Calculer \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_8\).
Trouver \(q\) et \(v_0\). Calculer \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_8\).
~5 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Un capital de 5000€ est placé à 4% d'intérêts composés par an.
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années.
2. Après combien d'années le capital dépasse-t-il 7000€ ? (utiliser \(\ln(1{,}4)/\ln(1{,}04)\))
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années.
2. Après combien d'années le capital dépasse-t-il 7000€ ? (utiliser \(\ln(1{,}4)/\ln(1{,}04)\))
~5 lignes · Suite géom.
Exercice 8★★ Intermédiaire
Calculer la somme \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (2k+1)\). En déduire que la somme des \(n+1\) premiers entiers impairs est \((n+1)^2\).
~5 lignes
Exercice 9★★★ Difficile
Calculer \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\). Indice : dériver la somme géométrique \(\sum_{k=0}^n x^k\) par rapport à \(x\).
~7 lignes · Technique dérivation
Exercice 10★★★ Difficile
On place chaque mois 200€ sur un livret rapportant 0,2% par mois.
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) mois (suite arithmético-géométrique).
2. Calculer le capital après 5 ans (60 mois).
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) mois (suite arithmético-géométrique).
2. Calculer le capital après 5 ans (60 mois).
~7 lignes
📘 Série 2 — Suites définies par récurrence
Exercice 1★ Facile
Soit \(u_{n+1} = 2u_n + 1\) avec \(u_0 = 1\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
2. Poser \(v_n = u_n + 1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. En déduire \(u_n\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
2. Poser \(v_n = u_n + 1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. En déduire \(u_n\).
~7 lignes
Exercice 2★ Facile
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n \geq 0\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1} - 1\).
~6 lignes · Init + Hérédité
Exercice 3★★ Intermédiaire
Soit \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\) avec \(u_0 = 7\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
2. Trouver le point fixe \(\ell\).
3. Poser \(v_n = u_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et trouver \(u_n\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
2. Trouver le point fixe \(\ell\).
3. Poser \(v_n = u_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et trouver \(u_n\).
~8 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Montrer par récurrence que \(u_n = 3^n + 2n\) vérifie \(u_{n+1} = 3u_n - 4n - 2\) avec \(u_0 = 1\).
~6 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 1\) : \(\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n}{n+1}\).
~7 lignes · Récurrence classique BAC
Exercice 6★★ Intermédiaire
Soit \(u_{n+1} = u_n^2\) avec \(u_0 = 2\).
1. Poser \(v_n = \ln(u_n)\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique.
2. En déduire \(u_n = 2^{2^n}\).
1. Poser \(v_n = \ln(u_n)\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique.
2. En déduire \(u_n = 2^{2^n}\).
~6 lignes
Exercice 7★★★ Difficile
Montrer par récurrence que \(n! > 2^n\) pour tout \(n \geq 4\).
~7 lignes · Init en n=4
Exercice 8★★★ Difficile
Soit \(u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 4}{u_n + 2}\) avec \(u_0 = 0\).
1. Trouver les points fixes de \(f(x) = \dfrac{3x+4}{x+2}\).
2. Poser \(v_n = \dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. En déduire \(u_n\).
1. Trouver les points fixes de \(f(x) = \dfrac{3x+4}{x+2}\).
2. Poser \(v_n = \dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. En déduire \(u_n\).
~10 lignes
Exercice 9★★★★ Expert
Montrer par récurrence forte que tout entier \(n \geq 2\) est le produit de nombres premiers.
~8 lignes · Récurrence forte
Exercice 10★★★★ Expert
La suite de Fibonacci est définie par \(F_0=0\), \(F_1=1\) et \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\).
1. Calculer \(F_2,\ldots,F_8\).
2. Montrer que \(F_n = \dfrac{\phi^n-\psi^n}{\sqrt{5}}\) où \(\phi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) et \(\psi=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\).
1. Calculer \(F_2,\ldots,F_8\).
2. Montrer que \(F_n = \dfrac{\phi^n-\psi^n}{\sqrt{5}}\) où \(\phi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) et \(\psi=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\).
~9 lignes · Récurrence d'ordre 2
📙 Série 3 — Convergence, monotonie, limites
Exercice 1★★ Intermédiaire
Soit \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\) avec \(u_0 = 4\).
1. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2.
2. En déduire la convergence et calculer la limite.
1. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2.
2. En déduire la convergence et calculer la limite.
~7 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Soit \(u_n = \dfrac{n^2+1}{n+1}\).
1. Calculer les 4 premiers termes.
2. Calculer \(\lim_{n\to+\infty} u_n\).
1. Calculer les 4 premiers termes.
2. Calculer \(\lim_{n\to+\infty} u_n\).
~4 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Étudier la convergence de \(u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\). On admettra que cette suite converge vers \(e\).
Vérifier numériquement avec \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
Vérifier numériquement avec \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
~5 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Soit \(u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).
1. Montrer que \(u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\).
2. Calculer la limite de \((u_n)\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_k\) et en déduire \(\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k\).
1. Montrer que \(u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\).
2. Calculer la limite de \((u_n)\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_k\) et en déduire \(\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k\).
~8 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Soit \(u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}\) avec \(u_0 = 0\).
1. Montrer par récurrence que \(u_n < 2\) pour tout \(n\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
1. Montrer par récurrence que \(u_n < 2\) pour tout \(n\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
~9 lignes · Théorème monotone bornée
Exercice 6★★★ Difficile
Montrer que \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) converge et calculer sa limite. Utiliser le théorème des gendarmes.
~5 lignes
Exercice 7★★★ Difficile
Construire graphiquement la suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(u_0 = 4\) (représentation en escalier).
Prévoir la convergence et la limite.
Prévoir la convergence et la limite.
~6 lignes · Schéma escalier
Exercice 8★★★ Difficile
Étudier la convergence de \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}\). On admettra que cette série converge (vers \(\pi^2/6\)). Encadrer \(u_{10}\).
~6 lignes
Exercice 9★★★★ Expert
Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0=0\), \(v_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\), \(v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\) (moyennes arithmétique et géométrique).
1. Montrer que \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\).
2. Montrer que les deux suites sont adjacentes.
3. En déduire leur limite commune.
1. Montrer que \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\).
2. Montrer que les deux suites sont adjacentes.
3. En déduire leur limite commune.
~10 lignes · Suites adjacentes
Exercice 10★★★★ Expert
Calculer la somme de la série géométrique \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) puis en déduire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) par dérivation.
~8 lignes
📕 Série 4 — Sujets type BAC
Exercice 1 — BACNiveau BAC
(6 pts) Un pêcheur a un lac contenant 10 000 poissons. Chaque année : 20% meurent naturellement, on en pêche 500, on en relâche 800.
On note \(u_n\) la population après \(n\) années.
1. Écrire la relation de récurrence. (2 pts)
2. Montrer que \((u_n)\) est de la forme \(u_n = A \times 0{,}8^n + B\). (2 pts)
3. La population s'éteint-elle ? Vers quelle valeur tend-elle ? (2 pts)
On note \(u_n\) la population après \(n\) années.
1. Écrire la relation de récurrence. (2 pts)
2. Montrer que \((u_n)\) est de la forme \(u_n = A \times 0{,}8^n + B\). (2 pts)
3. La population s'éteint-elle ? Vers quelle valeur tend-elle ? (2 pts)
~11 lignes
Exercice 2 — BACNiveau BAC
(5 pts) On considère \(u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{u_n+2}\) avec \(u_0 = 0\).
1. Calculer \(u_1, u_2\). (1 pt)
2. Trouver les points fixes. (1 pt)
3. Poser \(v_n = \dfrac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (2 pts)
4. En déduire la limite de \((u_n)\). (1 pt)
1. Calculer \(u_1, u_2\). (1 pt)
2. Trouver les points fixes. (1 pt)
3. Poser \(v_n = \dfrac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (2 pts)
4. En déduire la limite de \((u_n)\). (1 pt)
~11 lignes
Exercice 3 — BACNiveau BAC
(5 pts) Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Puis calculer \(\displaystyle\sum_{k=10}^{30} k^2\).
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Puis calculer \(\displaystyle\sum_{k=10}^{30} k^2\).
~10 lignes
Exercice 4 — BACNiveau BAC
(5 pts) Un emprunt de 20 000€ est remboursé par mensualités de 400€, taux mensuel 0,5%.
Soit \(C_n\) le capital restant après \(n\) mois.
1. Écrire la récurrence. (1 pt)
2. Montrer que \(C_n = (C_0 - 80000) \times 1{,}005^n + 80000\). (2 pts)
3. En combien de mois l'emprunt est-il remboursé ? (2 pts)
Soit \(C_n\) le capital restant après \(n\) mois.
1. Écrire la récurrence. (1 pt)
2. Montrer que \(C_n = (C_0 - 80000) \times 1{,}005^n + 80000\). (2 pts)
3. En combien de mois l'emprunt est-il remboursé ? (2 pts)
~11 lignes
Exercice 5 — BACNiveau BAC
(4 pts) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2}{2u_n}\) (méthode de Newton pour \(\sqrt{2}\)).
1. Montrer que \(u_n > \sqrt{2}\) pour tout \(n \geq 1\). (2 pts)
2. Montrer que \((u_n)_{n\geq1}\) est décroissante. (1 pt)
3. En déduire la convergence et la limite. (1 pt)
1. Montrer que \(u_n > \sqrt{2}\) pour tout \(n \geq 1\). (2 pts)
2. Montrer que \((u_n)_{n\geq1}\) est décroissante. (1 pt)
3. En déduire la convergence et la limite. (1 pt)
~10 lignes
Exercice 6 — BACNiveau BAC
(4 pts) Calculer la somme \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (3k+1) \times 2^k\). Indice : décomposer en \(3\sum k\cdot2^k + \sum 2^k\).
~9 lignes · Technique ABP
Exercice 7 — BACNiveau BAC
(4 pts) On place 1000€ par an sur un plan d'épargne rapportant 3% par an.
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) ans (1er versement en début d'année 1). (2 pts)
2. Après combien d'années a-t-on plus de 30 000€ ? (2 pts)
1. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) ans (1er versement en début d'année 1). (2 pts)
2. Après combien d'années a-t-on plus de 30 000€ ? (2 pts)
~9 lignes
Exercice 8 — BACNiveau BAC
(3 pts) Montrer que pour tout \(n \geq 1\), \(1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2\).
Puis en déduire la somme des \(n\) premiers entiers impairs en deux méthodes (récurrence et formule directe).
Puis en déduire la somme des \(n\) premiers entiers impairs en deux méthodes (récurrence et formule directe).
~8 lignes
Exercice 9 — BAC★★★★ Expert
(6 pts) Soit \(u_n = \dfrac{n}{2^n}\).
1. Montrer que \((u_n)\) est décroissante pour \(n \geq 1\). (2 pts)
2. Calculer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\) par les croissances comparées. (1 pt)
3. Calculer \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^k}\) en utilisant la dérivée de \(\sum x^k\). (3 pts)
1. Montrer que \((u_n)\) est décroissante pour \(n \geq 1\). (2 pts)
2. Calculer \(\lim_{n\to+\infty}u_n\) par les croissances comparées. (1 pt)
3. Calculer \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^k}\) en utilisant la dérivée de \(\sum x^k\). (3 pts)
~11 lignes
Exercice 10 — BAC★★★★ Synthèse
(7 pts — synthèse) Une épidémie se modélise par \(I_{n+1} = 1{,}5 I_n(1-I_n)\) où \(I_n \in [0,1]\) est la proportion d'infectés au jour \(n\).
1. Calculer les points fixes. (1 pt)
2. Pour \(I_0=0{,}1\), calculer \(I_1, I_2, I_3\). (1 pt)
3. Montrer que si \(I_n \in [0,1]\) alors \(I_{n+1} \in [0,1]\). (2 pts)
4. Étudier graphiquement le comportement à long terme. (3 pts)
1. Calculer les points fixes. (1 pt)
2. Pour \(I_0=0{,}1\), calculer \(I_1, I_2, I_3\). (1 pt)
3. Montrer que si \(I_n \in [0,1]\) alors \(I_{n+1} \in [0,1]\). (2 pts)
4. Étudier graphiquement le comportement à long terme. (3 pts)
~12 lignes · Modèle logistique
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Suite arith. u₀=3, r=5
a\(u_1=8\), \(u_2=13\), \(u_{10}=3+50=53\)
b\(u_n=53\) : \(3+5n=53\) → \(n=10\)
✅ u₁₀=53 · n=10
Ex 3 · S = 1+2+...+100
1Suite arithmétique de 101 termes (de 0 à 100, ou de 1 à 100 = 100 termes)
2\(S = \dfrac{100 \times (1+100)}{2} = \dfrac{100\times101}{2} = 5050\)
✅ S = 5050
Ex 4 · S = 1+2+4+...+2¹⁰
1Suite géométrique : 11 termes, \(u_0=1\), \(q=2\)
2\(S = \dfrac{1-2^{11}}{1-2} = 2^{11}-1 = 2047\)
✅ S = 2047
Ex 7 · Capital 5000€ à 4%/an, dépasser 7000€
1\(C_n = 5000 \times 1{,}04^n\)
2\(C_n > 7000\) → \(1{,}04^n > 1{,}4\) → \(n\ln(1{,}04) > \ln(1{,}4)\) → \(n > \dfrac{\ln(1{,}4)}{\ln(1{,}04)} \approx \dfrac{0{,}336}{0{,}039} \approx 8{,}6\)
3Il faut donc \(n \geq 9\) années.
✅ Cₙ = 5000×1.04ⁿ · Dépasse 7000€ après 9 ans
Ex 1 · u(n+1)=2uₙ+1, u₀=1. Poser vₙ=uₙ+1
1\(u_1=3, u_2=7, u_3=15\)
2\(v_{n+1}=u_{n+1}+1=2u_n+2=2(u_n+1)=2v_n\) → \((v_n)\) géom. de raison 2
3\(v_0=u_0+1=2\) → \(v_n=2^{n+1}\) → \(u_n=2^{n+1}-1\)
✅ uₙ = 2ⁿ⁺¹ − 1
Ex 2 · Récurrence : ∑ 2ᵏ = 2ⁿ⁺¹-1
Initn=0 : \(\sum_{k=0}^0 2^k = 1 = 2^1-1\) ✓
Hér.Supposons vraie pour \(n\) : \(\sum_{k=0}^{n+1}2^k = \sum_{k=0}^n2^k + 2^{n+1} = (2^{n+1}-1)+2^{n+1}=2^{n+2}-1\) ✓
ConclVrai pour tout \(n\geq0\) par récurrence.
✅ Démonstration par récurrence complète
Ex 5 · Récurrence : ∑ 1/(k(k+1)) = n/(n+1)
Init\(n=1\) : \(\dfrac{1}{1\times2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}\) ✓
Hér.Supposons vraie : \(\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\)
→\(=\dfrac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+1}{n+2}\) ✓
✅ Démonstration par récurrence complète
Ex 5 · u(n+1)=√(2+uₙ), u₀=0. Convergence vers 2
1Montr. \(u_n < 2\) : init \(u_0=0<2\) ✓. Si \(u_n<2\) alors \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}<\sqrt{4}=2\) ✓
2Croissante : \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{2+u_n}-u_n\). On montre que \(f(x)=\sqrt{2+x}>x\) pour \(x<2\) → croissante
3Croissante + majorée par 2 → converge vers \(\ell\). \(\ell=\sqrt{2+\ell}\) → \(\ell^2-\ell-2=0\) → \(\ell=2\) (car \(\ell>0\))
✅ Convergence vers ℓ = 2
Ex 6 · uₙ=(-1)ⁿ/n → 0 par gendarmes
1\(-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\)
2\(-1/n \to 0\) et \(1/n \to 0\) → par gendarmes, \(u_n \to 0\)
✅ uₙ → 0 par le théorème des gendarmes
Ex 1 BAC · Poissons : récurrence, terme général, limite
1Après 1 an : \(u_{n+1} = u_n - 0{,}2u_n - 500 + 800 = 0{,}8u_n + 300\)
2Point fixe : \(\ell = 0{,}8\ell+300\) → \(0{,}2\ell=300\) → \(\ell=1500\)
3Poser \(v_n=u_n-1500\) → \(v_{n+1}=0{,}8v_n\) géom. de raison 0,8
4\(v_0=10000-1500=8500\) → \(v_n=8500\times0{,}8^n\) → \(u_n=8500\times0{,}8^n+1500\)
5\(0{,}8^n\to0\) → \(u_n\to1500\) : la population se stabilise à 1500 poissons.
✅ uₙ = 8500×0,8ⁿ + 1500 · Limite : 1500 poissons
Ex 4 BAC · Emprunt 20000€, mensualités 400€, taux 0.5%
1\(C_{n+1} = 1{,}005C_n - 400\)
2Point fixe : \(\ell=1{,}005\ell-400\) → \(\ell=80000\). \(v_n=C_n-80000\) géom. de raison 1,005
3\(C_0=20000\) → \(v_0=-60000\) → \(C_n=-60000\times1{,}005^n+80000\)
4\(C_n=0\) : \(1{,}005^n=\frac{4}{3}\) → \(n=\dfrac{\ln(4/3)}{\ln(1{,}005)}\approx\dfrac{0{,}288}{0{,}00499}\approx57{,}7\) → 58 mois
✅ Cₙ = -60000×1.005ⁿ + 80000 · Remboursé en 58 mois
Ex 5 BAC · Méthode Newton pour √2
1\(u_n^2-2 = u_n^2-2 > 0\) si \(u_n>\sqrt2\). Init : \(u_1=\frac{4+2}{4}=\frac{3}{2}>\sqrt2\approx1{,}41\) ✓. Hérédité : \(u_{n+1}-\sqrt2=\frac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}>0\) ✓
2\(u_{n+1}-u_n = \frac{u_n^2+2}{2u_n}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}<0\) car \(u_n>\sqrt2>\sqrt2\) → décroissante
3Décroissante + minorée par \(\sqrt2\) → converge. \(\ell=\frac{\ell^2+2}{2\ell}\) → \(2\ell^2=\ell^2+2\) → \(\ell=\sqrt2\)
✅ Converge très rapidement vers √2 (méthode de Newton)